빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

비교 판정법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 3.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. ∑n=1∞n!n!(2n)!\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n!n!}{(2n)!}.

영어 원문 보기

Does the following series converge or diverge? ∑n=1∞n!n!(2n)!\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n!n!}{(2n)!}.

정답·풀이 보기

팩토리얼이 있을 때는 보통 발산판정법이나 비판정법을 쓴다. 항들이 실제로 0 으로 가까워지므로, 남은 방법은 비판정법이다.

an+1an=(n+1)!(n+1)!(2n+2)!n!n!(2n)!=(n+1)!(n+1)!n!n!⋅(2n)!(2n+2)!=(n+1)(n)(n−1)⋯(1)n(n−1)⋯(1)⋅(n+1)(n)(n−1)⋯(1)n(n−1)⋯(1)⋅(2n)(2n−1)(2n−2)⋯(1)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n−1)(2n−2)⋯(1)=(n+1)(n+1)⋅1(2n+2)(2n+1)이므로lim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞(n+1)(n+1)(2n+2)(2n+1)=lim⁡n→∞(n+1)(n+1)2(n+1)(2n+1)=lim⁡n→∞n+14n+2=14\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}}{\frac{n!n!}{(2n)!}}=\frac{(n+1)!(n+1)!}{n!n!}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}\\ &=\tfrac{ (n+1){(n)}{(n-1)}\cdots{(1)}}{{n}{(n-1)}\cdots{(1)}} \cdot\tfrac{ (n+1){(n)}{(n-1)}\cdots{(1)}}{{n}{(n-1)}\cdots{(1)}} \cdot \tfrac{{(2n)}{(2n-1)}{(2n-2)}\cdots{(1)}}{ (2n+2)(2n+1){(2n)}{(2n-1)}{(2n-2)}\cdots{(1)}} \\ &=(n+1)(n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\text{이므로}\\ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1}{4n+2}=\frac{1}{4} \end{aligned}

극한이 1 보다 작은 수이므로, 비판정법에 의해 이 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Usually with factorials, we want to use the divergence test or the ratio test. Since the terms are indeed tending towards zero, we are left with the ratio test.

an+1an=(n+1)!(n+1)!(2n+2)!n!n!(2n)!=(n+1)!(n+1)!n!n!⋅(2n)!(2n+2)!=(n+1)(n)(n−1)⋯(1)n(n−1)⋯(1)⋅(n+1)(n)(n−1)⋯(1)n(n−1)⋯(1)⋅(2n)(2n−1)(2n−2)⋯(1)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n−1)(2n−2)⋯(1)=(n+1)(n+1)⋅1(2n+2)(2n+1), solim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞(n+1)(n+1)(2n+2)(2n+1)=lim⁡n→∞(n+1)(n+1)2(n+1)(2n+1)=lim⁡n→∞n+14n+2=14\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}}{\frac{n!n!}{(2n)!}}=\frac{(n+1)!(n+1)!}{n!n!}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}\\ &=\tfrac{ (n+1){(n)}{(n-1)}\cdots{(1)}}{{n}{(n-1)}\cdots{(1)}} \cdot\tfrac{ (n+1){(n)}{(n-1)}\cdots{(1)}}{{n}{(n-1)}\cdots{(1)}} \cdot \tfrac{{(2n)}{(2n-1)}{(2n-2)}\cdots{(1)}}{ (2n+2)(2n+1){(2n)}{(2n-1)}{(2n-2)}\cdots{(1)}} \\ &=(n+1)(n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\text{, so}\\ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1}{4n+2}=\frac{1}{4} \end{aligned}

Since the limit is a number less than 1, the series converges by the ratio test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 48번우리말 번역

bn{b}_{n} 을 0과 1로 이루어진 무한수열이라 하자. x=∑n=1∞bn/2nx=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n} 이 가질 수 있는 가장 큰 값은 무엇입니까?

다 풀었으면 정답 확인

비교판정법에 의해 x=∑n=1∞bn/2n≤∑n=1∞1/2n=1x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}\le \sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=1 이다.

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# 비교 판정법계산보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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