비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 48번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 48번대학 수준우리말 번역

${b}_{n}$ 을 0과 1로 이루어진 무한수열이라 하자. $x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}$ 이 가질 수 있는 가장 큰 값은 무엇입니까?

영어 원문 보기

Let ${b}_{n}$ be an infinite sequence of zeros and ones. What is the largest possible value of $x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}?$

정답·풀이 보기

비교판정법에 의해 $x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}\le \sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the comparison test, $x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}\le \sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=1.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 38번우리말 번역

${a}_{n}\ge 0$ 이고 ${b}_{n}\ge 0$ 이며 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 과 $\sum_{n=1}^{\infty }{b}^{2}{}_{n}$ 이 수렴한다고 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 이 수렴하고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}\,{b}_{n}\le \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}^{2}\right)$ 임을 증명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${(a-b)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}$ 또는 ${a}^{2}+{b}^{2}\ge 2ab$ 이므로, 수렴은 $2{a}_{n}{b}_{n}$ 과 ${a}^{2}{}_{n}+{b}^{2}{}_{n}$ 의 비교에서 얻어진다. 좌변의 부분합이 우변의 부분합으로 유계이므로 무한급수에 대해서도 부등식이 성립한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산자동 분류