비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 34번

CLP-2 · 3.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 이유를 들어 판단하세요.

(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cos(n\pi)}{2^n}$

영어 원문 보기

Determine, with explanation, whether each of the following series converge or diverge.

(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cos(n\pi)}{2^n}$

정답·풀이 보기

(a) $n$ 이 크면 $n^2\gg 1$ 이므로 $\sqrt{n^2+1}\approx \sqrt{n^2}= n$ 이다. 이는 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ 과 $b_n=\frac{1}{n}$ 에 극한비교판정법을 적용할 수 있음을 시사한다. 또한

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1/\sqrt{n^2+1}}{1/n} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n^2}} =1$

이고 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 이 발산하므로, 주어진 급수는 발산한다.

(b) $\cos(n\pi)=(-1)^n$ 이므로 주어진 급수는 교대급수판정법에 의해 수렴한다. $a_n=\frac{n}{2^n}$ 이 $n$ 이 한없이 커질 때 $0$ 으로 감소함을 확인하기 위해 다음을 보자.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)2^{-(n+1)}}{n2^{-n}} =\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\frac{1}{2}$

은 모든 $n\ge 1$ 에 대해 $1$ 보다 작고( $a_{n+1}\le a_n$ 이므로), 모든 $n\ge 2$ 에 대해 $\frac{3}{4}$ 보다 작다( $a_{n+1}\le \frac{3}{4}a_n$ 이므로).

원본 교재 풀이(영어)

(a) For large $n$ , $n^2\gg 1$ and so $\sqrt{n^2+1}\approx \sqrt{n^2}= n$ . This suggests that we apply the limit comparison test with $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ and $b_n=\frac{1}{n}$ . Since

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1/\sqrt{n^2+1}}{1/n} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n^2}} =1$

and since $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ diverges, the given series diverges.

(b) Since $\cos(n\pi)=(-1)^n$ , the given series converges by the alternating series test. To check that $a_n=\frac{n}{2^n}$ decreases to $0$ as $n$ tends to infinity, note that

$\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)2^{-(n+1)}}{n2^{-n}} =\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\frac{1}{2}$

is smaller than $1$ (so that $a_{n+1}\le a_n$ ) for all $n\ge 1$ , and is smaller than $\frac{3}{4}$ (so $a_{n+1}\le \frac{3}{4}a_n$ ) for all $n\ge 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 19번우리말 번역

다음 급수는 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}$

다 풀었으면 정답 확인

이 급수의 항은 0에 가까워지므로 발산판정법을 쓸 수 없다.

수렴 여부를 추측하기 위해 다음과 같이 한다. $\sum \frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}=\sum\frac{1}{\sqrt{k^2+k}} \approx \sum\frac{1}{\sqrt{k^2}}=\sum\frac{1}{k}$ 이 급수가 조화급수와 비슷하게 행동한다고 추측할 수 있고, 조화급수는 발산한다( $p$ -판정법이나 적분판정법으로 보일 수 있다). 따라서 이 급수도 발산한다고 추측한다. 그러나 이 급수를 조화급수와 직접 비교하여 발산함을 보이려면 이 급수의 항이 조화급수의 항보다 커야 하는데, 그렇지 않다. 그러므로 극한비교판정법을 쓴다.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}}&=\frac{\sqrt{k^2+k}}{k}=\frac{\sqrt{k^2+k}}{\sqrt{k^2}}= \sqrt{\frac{k^2+k}{k^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{k}},\text{ 이므로}\\ \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}}&=\lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt{1+\frac{1}{k}}=1 \end{aligned}$

1은 0보다 큰 실수이므로, 극한비교판정법에 의해 $\sum \frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}$ 은 $\sum \frac{1}{k}$ 과 마찬가지로 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

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