비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 40번

CLP-2 · 3.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 이유와 함께 판단하세요.

(a) $\sum_{k=2}^\infty \frac{\sqrt[3]{k}}{k^2-k}$ . (b) $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{10}10^k(k!)^2}{(2k)!}$ . (c) $\sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k(\log k) (\log\log k)}$ .

영어 원문 보기

Determine, with explanation, whether each of the following series converges or diverges.

(a) $\sum_{k=2}^\infty \frac{\sqrt[3]{k}}{k^2-k}$ . (b) $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{10}10^k(k!)^2}{(2k)!}$ . (c) $\sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k(\log k) (\log\log k)}$ .

정답·풀이 보기

(a) 매우 큰 $k$ 에 대해 $k\ll k^2$ 이므로 $a_n=\frac{\sqrt[3]{k}}{k^2-k}\approx \frac{\sqrt[3]{k}}{k^2} =\frac{1}{k^{5/3}}$ 이다. $b_k=\frac{1}{k^{5/3}}$ 로 하여 극한비교판정법을 적용한다. 다음에서

$\begin{aligned} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{k}/(k^2-k)}{1/k^{5/3}} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{k^2}{k^2-k} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1-1/k} =1 \end{aligned}$

극한이 존재하고 0이 아니며, $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{5/3}}$ 은 ( $p$ –판정법에서 $p=\frac{5}{3}>1$ 이므로) 수렴하므로, 주어진 급수는 극한비교판정법에 의해 수렴한다.

(b) 이 급수의 $k^{\rm th}$ 항은 $a_k= \frac{k^{10}10^k(k!)^2}{(2k)!}$ 이다. 팩토리얼은 비의 꼴에서 깔끔하게 정리되므로 비판정법과 잘 어울리는 경우가 많다.

$\begin{aligned} \frac{a_{k+1}}{a_k} &=\frac{(k+1)^{10}10^{k+1}((k+1)!)^2}{(2k+2)!}\cdot\frac{(2k)!}{k^{10}10^k(k!)^2} =10\Big(\frac{k+1}{k}\Big)^{10}\frac{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}\\ &=10\Big(1+\frac{1}{k}\Big)^{10}\frac{(1+1/k)^2}{(2+2/k)(2+1/k)} \end{aligned}$

$k$ 가 $\infty$ 로 갈 때 이 값은 $10\times 1\times\frac{1}{2\times 2}>1$ 에 수렴한다. 따라서 이 급수는 비판정법에 의해 발산한다.

(c) 적분판정법을 사용한다. 이 급수의 $k^{\rm th}$ 항은 $a_k=\frac{1}{k(\log k) (\log\log k)}=f(k)$ 이고 $f(x)=\frac{1}{x(\log x) (\log\log x)}$ 은 $x\ge 3$ 에서 연속이고 양수이며 감소한다.

$\begin{aligned} \int_3^\infty f(x)\ \mathrm{d}x &= \int_3^\infty \frac{\mathrm{d}x}{x(\log x) (\log\log x)} =\lim_{R\rightarrow\infty} \int_3^R \frac{\mathrm{d}x}{x(\log x) (\log\log x)} \\[0.1in] &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_{\log 3}^{\log R} \frac{\mathrm{d}y}{y\log y} &\qquad\text{여기서 }y=\log x,\ \mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}x}{x} \\[0.1in] &= \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\log \log 3}^{\log \log R} \frac{\mathrm{d}t}{t} & \qquad\text{여기서 }t=\log y,\ \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}y}{y} \\[0.1in] &=\lim_{R \to \infty}\Big[\log t\Big]_{\log \log 3}^{\log\log R}=\infty \end{aligned}$

적분이 발산하므로 적분판정법에 의해 이 급수도 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For very large $k$ , $k\ll k^2$ so that $a_n=\frac{\sqrt[3]{k}}{k^2-k}\approx \frac{\sqrt[3]{k}}{k^2} =\frac{1}{k^{5/3}}.$ We apply the limit comparison test with $b_k=\frac{1}{k^{5/3}}$ . Since

exists and is nonzero, and $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{5/3}}$ converges (by the $p$ –test with $p=\frac{5}{3}>1$ ), the given series converges by the limit comparison test.

(b) The $k^{\rm th}$ term in this series is $a_k= \frac{k^{10}10^k(k!)^2}{(2k)!}$ . Factorials often work well with the ratio test, because they simplify so nicely in quotients.

As $k$ tends to $\infty$ , this converges to $10\times 1\times\frac{1}{2\times 2}>1$ . So the series diverges by the ratio test.

(c) We'll use the integal test. The $k^{\rm th}$ term in the series is $a_k=\frac{1}{k(\log k) (\log\log k)}=f(k)$ with $f(x)=\frac{1}{x(\log x) (\log\log x)}$ , which is continuous, positive and decreasing for $x\ge 3$ .

$\begin{aligned} \int_3^\infty f(x)\ \mathrm{d}x &= \int_3^\infty \frac{\mathrm{d}x}{x(\log x) (\log\log x)} =\lim_{R\rightarrow\infty} \int_3^R \frac{\mathrm{d}x}{x(\log x) (\log\log x)} \\[0.1in] &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_{\log 3}^{\log R} \frac{\mathrm{d}y}{y\log y} &\qquad\text{with }y=\log x,\ \mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}x}{x} \\[0.1in] &= \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\log \log 3}^{\log \log R} \frac{\mathrm{d}t}{t} & \qquad\text{with }t=\log y,\ \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}y}{y} \\[0.1in] &=\lim_{R \to \infty}\Big[\log t\Big]_{\log \log 3}^{\log\log R}=\infty \end{aligned}$

Since the integral is divergent, the series is divergent as well by the integral test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 56번우리말 번역

수열 ${a}_{n}>0$ 이 ${a}_{1}=1$ 이고 ${a}_{n+1}=\frac{1}{{(n+1)}^{2}}{S}_{n}$ 을 만족한다고 하세요. 여기서 ${S}_{n}={a}_{1}+\cdots +{a}_{n}$ 입니다. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단할 수 있나요? (힌트: ${S}_{2}={a}_{2}+{a}_{1}={a}_{2}+{S}_{1}={a}_{2}+1=1+1/4=(1+1/4){S}_{1},$ ${S}_{3}=\frac{1}{{3}^{2}}{S}_{2}+{S}_{2}=(1+1/9){S}_{2}=(1+1/9)(1+1/4){S}_{1}$ , 등이다. $\ln ({S}_{n})$ 을 살펴보고, $\ln (1+t)\le t,$ $t>0.)$ 을 이용하세요.)

다 풀었으면 정답 확인

힌트를 계속 이어 가면 ${S}_{N}=(1+1/{N}^{2})(1+1/{(N-1)}^{2}\ldots (1+1/4))$ 이다. 그러면 $\ln ({S}_{N})=\ln (1+1/{N}^{2})+\ln (1+1/{(N-1)}^{2})+\cdots +\ln (1+1/4)$ 이다. $0<t<1$ 일 때 $\ln (1+t)$ 는 $t$ 의 상수배로 유계이므로 $\ln ({S}_{N})\le C\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{{n}^{2}}$ 이고, 이 급수는 $p=2$ 인 p-급수와 비교하여 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산보통자동 분류