비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 56번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 56번대학 수준우리말 번역

수열 ${a}_{n}>0$ 이 ${a}_{1}=1$ 이고 ${a}_{n+1}=\frac{1}{{(n+1)}^{2}}{S}_{n}$ 을 만족한다고 하세요. 여기서 ${S}_{n}={a}_{1}+\cdots +{a}_{n}$ 입니다. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단할 수 있나요? (힌트: ${S}_{2}={a}_{2}+{a}_{1}={a}_{2}+{S}_{1}={a}_{2}+1=1+1/4=(1+1/4){S}_{1},$ ${S}_{3}=\frac{1}{{3}^{2}}{S}_{2}+{S}_{2}=(1+1/9){S}_{2}=(1+1/9)(1+1/4){S}_{1}$ , 등이다. $\ln ({S}_{n})$ 을 살펴보고, $\ln (1+t)\le t,$ $t>0.)$ 을 이용하세요.)

영어 원문 보기

Suppose that a sequence of numbers ${a}_{n}>0$ has the property that ${a}_{1}=1$ and ${a}_{n+1}=\frac{1}{{(n+1)}^{2}}{S}_{n},$ where ${S}_{n}={a}_{1}+\cdots +{a}_{n}.$ Can you determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges? (Hint: ${S}_{2}={a}_{2}+{a}_{1}={a}_{2}+{S}_{1}={a}_{2}+1=1+1/4=(1+1/4){S}_{1},$ ${S}_{3}=\frac{1}{{3}^{2}}{S}_{2}+{S}_{2}=(1+1/9){S}_{2}=(1+1/9)(1+1/4){S}_{1},$ etc. Look at $\ln ({S}_{n}),$ and use $\ln (1+t)\le t,$ $t>0.)$

정답·풀이 보기

힌트를 계속 이어 가면 ${S}_{N}=(1+1/{N}^{2})(1+1/{(N-1)}^{2}\ldots (1+1/4))$ 이다. 그러면 $\ln ({S}_{N})=\ln (1+1/{N}^{2})+\ln (1+1/{(N-1)}^{2})+\cdots +\ln (1+1/4)$ 이다. $0<t<1$ 일 때 $\ln (1+t)$ 는 $t$ 의 상수배로 유계이므로 $\ln ({S}_{N})\le C\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{{n}^{2}}$ 이고, 이 급수는 $p=2$ 인 p-급수와 비교하여 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Continuing the hint gives ${S}_{N}=(1+1/{N}^{2})(1+1/{(N-1)}^{2}\ldots (1+1/4)).$ Then $\ln ({S}_{N})=\ln (1+1/{N}^{2})+\ln (1+1/{(N-1)}^{2})+\cdots +\ln (1+1/4).$ Since $\ln (1+t)$ is bounded by a constant times $t,$ when $0<t<1$ one has $\ln ({S}_{N})\le C\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{{n}^{2}},$ which converges by comparison to the p-series for $p=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 16번우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n}$

다 풀었으면 정답 확인

$p=2$ 인 p-급수와 극한비교판정법을 적용하면 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산자동 분류