비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 49번

CLP-2 · 3.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1-a_n)$ 이 수렴한다고 하자. 단, $n=0,1,2,3,\cdots$ 에 대해 $a_n>0$ 이다. 급수 $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n a_n$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

Suppose that the series $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1-a_n)$ converges, where $a_n>0$ for $n=0,1,2,3,\cdots$ . Determine whether the series $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n a_n$ converges or diverges.

정답·풀이 보기

발산 판정법에 의해, $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1-a_n)$ 이 수렴한다는 사실로부터 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-a_n)=0$ 이 보장되고, 이는 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=1$ 과 같다. 따라서 발산 판정법을 한 번 더 적용하면,

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}2^n a_n = +\infty \end{aligned}$

이므로 $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n a_n$ 도 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

By the divergence test, the fact that $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1-a_n)$ converges guarantees that $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-a_n)=0$ , or equivalently, that $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=1$ . So, by the divergence test, a second time, the fact that

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}2^n a_n = +\infty \end{aligned}$

guarantees that $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n a_n$ diverges too.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 48번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하고 모든 $n$ 에 대해 $1>a_n\ge 0$ 이라 하자. 이때 급수 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1-a_n}$ 도 수렴함을 증명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

증명의 방향을 잡기 위해 먼저 직관을 얻어 보자. $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하므로 $n\rightarrow\infty$ 일 때 $a_n$ 은 0 으로 수렴한다. 따라서 $n$ 이 충분히 크면 $\frac{a_n}{1-a_n} \approx \frac{a_n}{1-0}=\frac{a_n}{1}$ 이고, $\sum a_n$ 이 수렴함을 알고 있다. 그러므로 "큰" 번호의 항들을 유한 개의 작은 번호의 항들과 분리하려고 한다.

$\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0$ 이므로, 모든 $n>N$ 에 대해 $\tfrac{1}{2}>a_n\ge 0$ 이 되게 하는 (1보다 작은 양수라면 $\frac12$ 뿐 아니라 어떤 수를 택해도 된다.) 정수 $N$ 이 반드시 존재한다. 그러면 $n>N$ 일 때,

$\begin{aligned} \frac{a_n}{1-a_n} &\leq \frac{a_n}{1-1/2}=2a_n \\ \text{문제에 주어진 정보로부터 다음을 안다.} \\ \sum_{n=N+1}^\infty 2a_n&=2\sum_{n=N+1}^\infty a_n\qquad\text{은 수렴한다. } \\ \text{따라서 직접 비교 판정법에 의해} \\ \sum_{n=N+1}^\infty\frac{a_n}{1-a_n}&\qquad\text{도 수렴한다. } \\ \text{급수의 수렴 여부는 처음 $N$ 개의 항에 영향을 받지 않으므로(단, $N$ 이 유한할 때), 다음을 얻는다.} \\ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{1-a_n}&\qquad\text{은 수렴한다.} \end{aligned}$

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