비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 50번

CLP-2 · 3.3절 · 50번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{na_n-2n+1}{n+1}$ 이 수렴한다고 가정하세요. 여기서 $n = 1, 2, \cdots$ 에 대해 $a_n > 0$ 입니다. 그러면 다음 급수

$\begin{aligned} -\log a_1 + \sum_{n=1}^\infty \log\Big(\frac{a_n}{a_{n+1}}\Big) \end{aligned}$

는 수렴합니까? 답이 '아니요'이면 그 이유를 설명하세요. 답이 '예'이면 급수 $-\log a_1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \log\big(\frac{a_n}{a_{n+1}}\big)$ 의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Assume that the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{na_n-2n+1}{n+1}$ converges, where $a_n > 0$ for $n = 1, 2, \cdots$ . Is the following series

$\begin{aligned} -\log a_1 + \sum_{n=1}^\infty \log\Big(\frac{a_n}{a_{n+1}}\Big) \end{aligned}$

convergent? If your answer is NO, justify your answer. If your answer is YES, evaluate the sum of the series $-\log a_1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \log\big(\frac{a_n}{a_{n+1}}\big)$ .

정답·풀이 보기

발산 판정법에 의해 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{na_n-2n+1}{n+1}$ 이 수렴하므로 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{na_n-2n+1}{n+1}=0$ 이다. 이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 0=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}a_n -\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n-1}{n+1} =\lim_{n\rightarrow\infty}a_n -2 \iff \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = 2 \end{aligned}$

구하려는 급수는 $-\log a_1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \big[\log(a_n)-\log(a_{n+1})\big]$ 로 쓸 수 있으며, 이는 망원급수처럼 보인다. 따라서 부분합

$\begin{aligned} S_N&=-\log a_1 + \sum_{n=1}^N \big[\log(a_n)-\log(a_{n+1})\big] \\ &=-\log a_1 + \big[\log(a_1)-\log(a_2)\big] + \big[\log(a_2)-\log(a_3)\big] + \cdots + \big[\log(a_N)-\log(a_{N+1})\big]\\ &=-\log(a_{N+1}) \end{aligned}$

을 구한 뒤 $N\rightarrow\infty$ 일 때의 극한을 취하면

$\begin{aligned} -\log a_1 + \sum_{n=1}^\infty \big[\log(a_n)-\log(a_{n+1})\big] =\lim_{N\rightarrow\infty} S_N =- \lim_{N\rightarrow\infty} \log(a_{N+1}) =-\log 2 =\log\frac{1}{2} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the divergence test, the fact that $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{na_n-2n+1}{n+1}$ converges guarantees that $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{na_n-2n+1}{n+1}=0$ , or equivalently, that

$\begin{aligned} 0=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}a_n -\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n-1}{n+1} =\lim_{n\rightarrow\infty}a_n -2 \iff \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = 2 \end{aligned}$

The series of interest can be written $-\log a_1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \big[\log(a_n)-\log(a_{n+1})\big]$ which looks like a telescoping series. So we'll compute the partial sum

and then take the limit $N\rightarrow\infty$

$\begin{aligned} -\log a_1 + \sum_{n=1}^\infty \big[\log(a_n)-\log(a_{n+1})\big] =\lim_{N\rightarrow\infty} S_N =- \lim_{N\rightarrow\infty} \log(a_{N+1}) =-\log 2 =\log\frac{1}{2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 51번우리말 번역

모든 $n$ 에 대해 $a_n\ge 0$ 이고 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하면, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a^2_n$ 도 수렴함을 증명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴한다고 하였다. 따라서 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이어야 한다. 특히 $n\ge N$ 인 모든 $n$ 에 대해 $0\le a_n\le 1$ 을 만족하는 번호 $N$ 이 존재한다. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} 0\leq a_n^2 & \leq a_n\qquad\text{$n>N$ 일 때} \\ \text{비교판정법에 의해} \\ \sum_{n=N+1}^\infty a_n^2& \qquad\text{은 수렴한다.} \\ \text{급수의 수렴은 유한한 $N$ 개의 처음 항들에 의존하지 않으므로,} \\ \sum_{n=1}^\infty a_n^2& \qquad\text{도 수렴한다.} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법증명·논술도전자동 분류