비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 51번

CLP-2 · 3.3절 · 51번대학 수준우리말 번역

모든 $n$ 에 대해 $a_n\ge 0$ 이고 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하면, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a^2_n$ 도 수렴함을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove that if $a_n\ge 0$ for all $n$ and if the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ converges, then the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a^2_n$ also converges.

정답·풀이 보기

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴한다고 하였다. 따라서 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이어야 한다. 특히 $n\ge N$ 인 모든 $n$ 에 대해 $0\le a_n\le 1$ 을 만족하는 번호 $N$ 이 존재한다. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} 0\leq a_n^2 & \leq a_n\qquad\text{$n>N$ 일 때} \\ \text{비교판정법에 의해} \\ \sum_{n=N+1}^\infty a_n^2& \qquad\text{은 수렴한다.} \\ \text{급수의 수렴은 유한한 $N$ 개의 처음 항들에 의존하지 않으므로,} \\ \sum_{n=1}^\infty a_n^2& \qquad\text{도 수렴한다.} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We are told that $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converges. Thus we must have that $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ . In particular, there is an index $N$ such that $0\le a_n\le 1$ for all $n\ge N$ . Then:

$\begin{aligned} 0\leq a_n^2 & \leq a_n\qquad\text{for $n>N$} \\ \text{By the direct comparison test,} \\ \sum_{n=N+1}^\infty a_n^2& \qquad\text{converges.} \\ \text{Since convergence doesn't depend on the first $N$ terms of a series for any finite $N$,} \\ \sum_{n=1}^\infty a_n^2& \qquad\text{converges as well.} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 12번우리말 번역

비교판정법을 이용하여 다음 급수가 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$

다 풀었으면 정답 확인

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=1/\left(\sqrt{n+1/2}+\sqrt{n}\right)\le 2/\sqrt{n}$ 이므로 급수는 $p=1.5$ 인 p-급수와 비교하면 수렴한다.

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