절대수렴과 조건수렴 연습문제 — CLP-2 · 3.4절 · 4번

CLP-2 · 3.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{1+n}$ 이 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 발산하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

Determine whether the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{1+n}$ is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent.

정답·풀이 보기

$(-1)^{2n+1}=(-1)\cdot(-1)^{2n}=-1$ 임에 주목하자. 따라서 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{1+n}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n} \end{aligned}$

$\displaystyle \frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{n+n} = \frac{1}{2n}$ 이므로, $\ \ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n}$ 은 발산하는 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 과의 비교판정법에 의해 발산한다. 원래 급수에 곱해진 전체 계수 $-1$ 은 발산이라는 결론을 바꾸지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Note that $(-1)^{2n+1}=(-1)\cdot(-1)^{2n}=-1$ . So we can simplify

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{1+n}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n} \end{aligned}$

Since $\displaystyle \frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{n+n} = \frac{1}{2n}$ , $\ \ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n}$ diverges by the comparison test with the divergent harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ . The extra overall factor of $-1$ in the original series does not change the conclusion of divergence.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.4절 · 5번우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ 은 다음 중 하나이다: 절대수렴한다; 조건수렴한다; 발산한다; 또는 위의 어느 것도 아니다. 어느 것이 옳은지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{1+4^n}{3+4^n} = 1 \end{aligned}$

이므로 교대급수 판정법을 쓸 수 없다. 실제로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ 은 존재하지 않는다 ( $n$ 이 매우 크면 $(-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ 은 $+1$ 에 가까운 수와 $-1$ 에 가까운 수를 번갈아 가진다) 따라서 발산 판정법에 의해 이 급수는 발산한다. (참고로 "위의 어느 것도 아니다"는 절대 정답이 될 수 없다 — 모든 급수는 절대수렴하거나, 조건수렴하거나, 발산한다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 절대수렴과 조건수렴계산보통자동 분류