절대수렴과 조건수렴 연습문제 — CLP-2 · 3.4절 · 5번

CLP-2 · 3.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ 은 다음 중 하나이다: 절대수렴한다; 조건수렴한다; 발산한다; 또는 위의 어느 것도 아니다. 어느 것이 옳은지 판단하세요.

영어 원문 보기

The series $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ either: converges absolutely; converges conditionally; diverges; or none of the above. Determine which is correct.

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{1+4^n}{3+4^n} = 1 \end{aligned}$

이므로 교대급수 판정법을 쓸 수 없다. 실제로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ 은 존재하지 않는다 ( $n$ 이 매우 크면 $(-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ 은 $+1$ 에 가까운 수와 $-1$ 에 가까운 수를 번갈아 가진다) 따라서 발산 판정법에 의해 이 급수는 발산한다. (참고로 "위의 어느 것도 아니다"는 절대 정답이 될 수 없다 — 모든 급수는 절대수렴하거나, 조건수렴하거나, 발산한다.)

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{1+4^n}{3+4^n} = 1 \end{aligned}$

the alternating series test cannot be used. Indeed, $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ does not exist (for very large $n$ , $(-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}$ alternates between a number close to $+1$ and a number close to $-1$ ) so the divergence test says that the series diverges. (Note that “none of the above” cannot possibly be the correct answer — every series either converges absolutely, converges conditionally, or diverges.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.4절 · 7번우리말 번역

다음 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}$ 이 절대수렴하는지, 조건수렴하는지(수렴하지만 절대수렴하지는 않는지), 발산하는지 (근거와 함께) 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}\right|$ 에 대해 직관을 얻어 보자. 급수가 절대 수렴하는지 알아보기 위해 각 항에 절댓값을 취한다. $n$ 이 매우 클 때 $n^2$ 은 $\sin n$ 을 압도하고 $n^6$ 은 $n^2$ 을 압도하므로

$\begin{aligned} \left|\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}\right| \approx \frac{n^2}{n^6} =\frac{1}{n^4} \end{aligned}$

이다.

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ 은 $p=4>1$ 이므로 $p$ -판정법에 의해 수렴한다. 따라서 주어진 급수도 수렴할 것으로 예상된다.

이 예상이 맞는지 확인하기 위해 극한비교판정법을 다음과 같이 적용한다.

$\begin{aligned} a_n= \frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2} \quad\text{그리고}\quad b_n= \frac{1}{n^4} \end{aligned}$

이는 다음이 성립하므로 적용할 수 있다.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{(n^2-\sin n)}{n^6+n^2}\right|\cdot\frac{n^4}{1} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|n^6-n^4\sin n|}{n^6+n^2} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-n^{-2}\sin n}{1+n^{-4}} =1$

이 극한은 존재하며 0이 아니다. 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ 이 수렴하므로 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{|n^2-\sin n|}{n^6+n^2}$ 도 수렴한다. 따라서 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}$ 은 절대수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

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