절대수렴과 조건수렴 연습문제 — CLP-2 · 3.4절 · 7번

CLP-2 · 3.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}$ 이 절대수렴하는지, 조건수렴하는지(수렴하지만 절대수렴하지는 않는지), 발산하는지 (근거와 함께) 판단하세요.

영어 원문 보기

Determine (with justification!) whether the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}$ converges absolutely, converges but not absolutely, or diverges.

정답·풀이 보기

먼저 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}\right|$ 에 대해 직관을 얻어 보자. 급수가 절대 수렴하는지 알아보기 위해 각 항에 절댓값을 취한다. $n$ 이 매우 클 때 $n^2$ 은 $\sin n$ 을 압도하고 $n^6$ 은 $n^2$ 을 압도하므로

$\begin{aligned} \left|\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}\right| \approx \frac{n^2}{n^6} =\frac{1}{n^4} \end{aligned}$

이다.

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ 은 $p=4>1$ 이므로 $p$ -판정법에 의해 수렴한다. 따라서 주어진 급수도 수렴할 것으로 예상된다.

이 예상이 맞는지 확인하기 위해 극한비교판정법을 다음과 같이 적용한다.

$\begin{aligned} a_n= \frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2} \quad\text{그리고}\quad b_n= \frac{1}{n^4} \end{aligned}$

이는 다음이 성립하므로 적용할 수 있다.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{(n^2-\sin n)}{n^6+n^2}\right|\cdot\frac{n^4}{1} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|n^6-n^4\sin n|}{n^6+n^2} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-n^{-2}\sin n}{1+n^{-4}} =1$

이 극한은 존재하며 0이 아니다. 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ 이 수렴하므로 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{|n^2-\sin n|}{n^6+n^2}$ 도 수렴한다. 따라서 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}$ 은 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

We first develop some intuition about $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}\right|$ , where we take the absolute value of the summands to consider whether the series converges absolutely. For very large $n$ , $n^2$ dominates $\sin n$ and $n^6$ dominates $n^2$ so that

$\begin{aligned} \left|\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}\right| \approx \frac{n^2}{n^6} =\frac{1}{n^4} \end{aligned}$

The series $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ converges by the $p$ –test with $p=4>1$ . We expect the given series to converge too.

To verify that our intuition is correct, we apply the limit comparison test with

$\begin{aligned} a_n= \frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2} \quad\text{and}\quad b_n= \frac{1}{n^4} \end{aligned}$

which is valid since

exists and is nonzero. Since the series $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ converges, the series $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{|n^2-\sin n|}{n^6+n^2}$ converges too. Therefore, the series $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}$ converges absolutely.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.4절 · 15번우리말 번역

$a_n$ 을 다음과 같이 정의하세요. $a_n=\begin{cases} -e^{n/2} & \text{ $n$이 소수이면}\\ n^2 & \text{ $n$이 소수가 \textbf{아니면}} \end{cases}$ 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{e^n}$ 이 수렴함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 급수의 항은 음수일 때도 있고 양수일 때도 있다. 그러나 엄밀하게 교대로 나타나는 것은 아니므로 교대급수 판정법을 쓸 수 없다. 대신 직접 비교판정법을 사용하여 이 급수가 절대수렴함을 보인다.

$n$ 이 소수이면 $\left| \frac{a_n}{e^n}\right|=\left|-\frac{e^{n/2}}{e^n}\right|=\frac{1}{e^{n/2}}=\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)^n$

$n$ 이 소수가 아니면 $\left| \frac{a_n}{e^n}\right|=\left|-\frac{n^2}{e^n}\right|=\frac{n^2}{e^n}$ $n$ 이 충분히 크면 $n^2<e^{n/2}$ 이므로, $n$ 이 충분히 클 때 $\frac{n^2}{e^n}\le \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^n$ 이다.

$e>1$ 이므로 $\sqrt{e}>1$ 이고, 따라서 등비급수 $\displaystyle\sum \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^n$ 은 $|r|=r=\frac{1}{\sqrt{e}}<1$ 이므로 수렴한다. 직접 비교판정법에 의해 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\dfrac{a_n}{e^n}\right|$ 도 수렴한다. 그러면 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{e^n}$ 은 절대수렴하므로 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 절대수렴과 조건수렴계산보통자동 분류