절대수렴과 조건수렴 연습문제 — CLP-2 · 3.4절 · 15번

CLP-2 · 3.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

$a_n$ 을 다음과 같이 정의하세요. $a_n=\begin{cases} -e^{n/2} & \text{ $n$이 소수이면}\\ n^2 & \text{ $n$이 소수가 \textbf{아니면}} \end{cases}$ 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{e^n}$ 이 수렴함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $a_n$ be defined as $a_n=\begin{cases} -e^{n/2} & \text{ if $n$ is prime}\\ n^2 & \text{ if $n$ is \textbf{not} prime} \end{cases}$ Show that the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{e^n}$ converges.

정답·풀이 보기

이 급수의 항은 음수일 때도 있고 양수일 때도 있다. 그러나 엄밀하게 교대로 나타나는 것은 아니므로 교대급수 판정법을 쓸 수 없다. 대신 직접 비교판정법을 사용하여 이 급수가 절대수렴함을 보인다.

$n$ 이 소수이면 $\left| \frac{a_n}{e^n}\right|=\left|-\frac{e^{n/2}}{e^n}\right|=\frac{1}{e^{n/2}}=\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)^n$

$n$ 이 소수가 아니면 $\left| \frac{a_n}{e^n}\right|=\left|-\frac{n^2}{e^n}\right|=\frac{n^2}{e^n}$ $n$ 이 충분히 크면 $n^2<e^{n/2}$ 이므로, $n$ 이 충분히 클 때 $\frac{n^2}{e^n}\le \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^n$ 이다.

$e>1$ 이므로 $\sqrt{e}>1$ 이고, 따라서 등비급수 $\displaystyle\sum \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^n$ 은 $|r|=r=\frac{1}{\sqrt{e}}<1$ 이므로 수렴한다. 직접 비교판정법에 의해 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\dfrac{a_n}{e^n}\right|$ 도 수렴한다. 그러면 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{e^n}$ 은 절대수렴하므로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The terms of this series are sometimes negative and sometimes positive. But, they are not strictly alternating, so we can't use the alternating series test. Instead, we use a direct comparison test to show the series converges absolutely.

If $n$ is prime, then $\left| \frac{a_n}{e^n}\right|=\left|-\frac{e^{n/2}}{e^n}\right|=\frac{1}{e^{n/2}}=\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)^n$

If $n$ is not prime, then $\left| \frac{a_n}{e^n}\right|=\left|-\frac{n^2}{e^n}\right|=\frac{n^2}{e^n}$ For $n$ sufficiently large, $n^2<e^{n/2}$ , so for $n$ sufficiently large, $\frac{n^2}{e^n}\le \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^n.$

Since $e>1$ , then $\sqrt{e}>1$ , so the geometric series $\displaystyle\sum \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^n$ has $|r|=r=\frac{1}{\sqrt{e}}<1$ , so it converges. By the direct comparison test, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\dfrac{a_n}{e^n}\right|$ converges as well. Then $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{e^n}$ converges absolutely, so it converges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.4절 · 14번우리말 번역

다음 사실은 증명 없이 사용해도 됩니다. $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} = \cos(1)$ 이 사실을 이용하여 $\cos 1$ 을 오차가 $\frac1{1000}$ 이내인 유리수로 어림하세요.

계산기로 구한 $\cos(1)$ 의 근삿값과 비교하여 답을 확인하세요. 실제 오차는 얼마였나요?

다 풀었으면 정답 확인

$N$ 번째 항까지 사용한 근삿값의 오차는 최대 $\frac{1}{(2(N+1))!}$ 이다. $\frac{1}{(2(N+1))!}<\frac{1}{1000}$ 이어야 한다. $N$ 의 작은 값들을 확인해 보면 $8!=40320>1000$ 이므로, $N=3$ 이면 $\frac{1}{2(N+1)!}=\frac{1}{40320}<\frac{1}{1000}$ 이다. 따라서 근삿값을 구하려면 급수의 처음 네 항만 고려하면 충분하다.

$\begin{aligned} \cos(1)&\approx \sum_{N=0}^3 \frac{(-1)^n}{(2n)!} = \frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}\\ &=1-\frac12+\frac{1}{24}-\frac{1}{720}\\ &=\frac{720-360+30-1}{720}=\frac{389}{720} \end{aligned}$

계산기를 사용하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \frac{389}{720}&=0.5402\overline{77} \\ \cos(1)&\approx 0.540302\\ \cos(1) - \frac{389}{720}&\approx 0.000024528\approx \frac{1}{40770} \end{aligned}$

따라서 오차는 우리가 구한 한계 $\frac{1}{40320}$ 에 상당히 가깝고, $\frac{1}{1000}$ 보다는 훨씬 작다.

이 문제로 이어서 풀기

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