절대수렴과 조건수렴 연습문제 — CLP-2 · 3.4절 · 8번

CLP-2 · 3.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n^2+1)(n!)^2}$ 이 절대수렴하는지, 조건수렴하는지(수렴하지만 절대수렴하지는 않는지), 아니면 발산하는지 (근거와 함께!) 판단하세요.

영어 원문 보기

Determine (with justification!) whether the series $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n^2+1)(n!)^2}$ converges absolutely, converges but not absolutely, or diverges.

정답·풀이 보기

이 급수가 교대급수 판정법에 의해 수렴한다고 생각할 수도 있다. 그러나 그것은 틀린 생각이다. 문제는 $\{a_n\}$ 이 $n\rightarrow\infty$ 일 때 0 으로 수렴하지 않는다는 점이며, 따라서 이 급수는 실제로는 발산판정법에 의해 발산한다. $n\rightarrow\infty$ 일 때 $n^{\text{th}}$ 번째 항이 0 으로 수렴하지 않음을 확인하기 위해 $a_n= \frac{(2n)!}{(n^2+1)(n!)^2}$ (즉 $a_n$ 은 부호를 뺀 $n^{\text{th}}$ 번째 항)이라 쓰고, $a_{n+1}$ 이 $a_n$ 보다 큰지 작은지 확인해 보자.

$\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{(2n+2)!}{((n+1)^2+1)((n+1)!)^2} \frac{(n^2+1)(n!)^2}{(2n)!} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1} \\ &=\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\frac{1+1/n^2}{(1+1/n)^2+1/n^2} =4\frac{1+1/2n}{1+1/n}\frac{1+1/n^2}{(1+1/n)^2+1/n^2} \end{aligned}$

따라서

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=4$

이고, 특히 충분히 큰 $n$ 에 대해 $a_{n+1}>a_n$ 이다. 그러므로 충분히 큰 $n$ 에 대해 $a_n$ 은 $n$ 에 따라 증가하므로 $0$ 으로 수렴할 수 없다. 따라서 이 급수는 발산판정법에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

You might think that this series converges by the alternating series test. But you would be wrong. The problem is that $\{a_n\}$ does not converge to zero as $n\rightarrow\infty$ , so that the series actually diverges by the divergence test. To verify that the $n^{\text{th}}$ term does not converge to zero as $n\rightarrow\infty$ let's write $a_n= \frac{(2n)!}{(n^2+1)(n!)^2}$ (i.e. $a_n$ is the $n^{\text{th}}$ term without the sign) and check to see whether $a_{n+1}$ is bigger than or smaller than $a_n$ .

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=4$

and, in particular, for large $n$ , $a_{n+1}>a_n$ . Thus, for large $n$ , $a_n$ increases with $n$ and so cannot converge to $0$ . So the series diverges by the divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.4절 · 4번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{1+n}$ 이 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 발산하는지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$(-1)^{2n+1}=(-1)\cdot(-1)^{2n}=-1$ 임에 주목하자. 따라서 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{1+n}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n} \end{aligned}$

$\displaystyle \frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{n+n} = \frac{1}{2n}$ 이므로, $\ \ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n}$ 은 발산하는 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 과의 비교판정법에 의해 발산한다. 원래 급수에 곱해진 전체 계수 $-1$ 은 발산이라는 결론을 바꾸지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 절대수렴과 조건수렴계산보통자동 분류