절대수렴과 조건수렴 연습문제 — CLP-2 · 3.4절 · 10번

CLP-2 · 3.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}{n^2}$ 이 수렴함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}{n^2}$ converges.

정답·풀이 보기

이 수열에는 양의 항도 있고 음의 항도 있어서 쓸 수 있는 판정법이 제한된다. 그러나 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right|$ 을 생각하면 직접 비교판정법을 쓸 수 있다.

모든 $n$ 에 대해 $| \sin n| <1$ 이므로 $0\le \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right|<\dfrac{1}{n^2}$ 이다. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ 이 수렴하므로 직접 비교판정법에 의해 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right|$ 도 수렴한다. 그러면 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}{n^2}$ 은 절대수렴하며, 특히 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The sequence has some positive terms and some negative terms, which limits the tests we can use. However, if we consider the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right|$ , we can use the direct comparison test.

For every $n$ , $| \sin n| <1$ , so $0\le \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right|<\dfrac{1}{n^2}$ . Since $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ converges, then by the direct comparison test, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right|$ converges as well. Then $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}{n^2}$ converges absolutely– in particular, it converges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.4절 · 8번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n^2+1)(n!)^2}$ 이 절대수렴하는지, 조건수렴하는지(수렴하지만 절대수렴하지는 않는지), 아니면 발산하는지 (근거와 함께!) 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 급수가 교대급수 판정법에 의해 수렴한다고 생각할 수도 있다. 그러나 그것은 틀린 생각이다. 문제는 $\{a_n\}$ 이 $n\rightarrow\infty$ 일 때 0 으로 수렴하지 않는다는 점이며, 따라서 이 급수는 실제로는 발산판정법에 의해 발산한다. $n\rightarrow\infty$ 일 때 $n^{\text{th}}$ 번째 항이 0 으로 수렴하지 않음을 확인하기 위해 $a_n= \frac{(2n)!}{(n^2+1)(n!)^2}$ (즉 $a_n$ 은 부호를 뺀 $n^{\text{th}}$ 번째 항)이라 쓰고, $a_{n+1}$ 이 $a_n$ 보다 큰지 작은지 확인해 보자.

$\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{(2n+2)!}{((n+1)^2+1)((n+1)!)^2} \frac{(n^2+1)(n!)^2}{(2n)!} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1} \\ &=\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\frac{1+1/n^2}{(1+1/n)^2+1/n^2} =4\frac{1+1/2n}{1+1/n}\frac{1+1/n^2}{(1+1/n)^2+1/n^2} \end{aligned}$

따라서

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=4$

이고, 특히 충분히 큰 $n$ 에 대해 $a_{n+1}>a_n$ 이다. 그러므로 충분히 큰 $n$ 에 대해 $a_n$ 은 $n$ 에 따라 증가하므로 $0$ 으로 수렴할 수 없다. 따라서 이 급수는 발산판정법에 의해 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

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