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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

절대수렴과 조건수렴

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CLP-2 · 3.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

급수 ∑n=1∞sin⁡2n−cos⁡2n+122n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n} 이 수렴함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the series ∑n=1∞sin⁡2n−cos⁡2n+122n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n} converges.

정답·풀이 보기

이 급수의 항은 음수일 때도 있고 양수일 때도 있다. 그러나 부호가 엄밀하게 번갈아 나타나지는 않으므로 교대급수 판정법을 쓸 수 없다. 대신 직접 비교판정법을 이용하여 이 급수가 절대수렴함을 보인다.

∣sin⁡2n−cos⁡2n+122n∣≤1+1+122n=52n+1\begin{aligned} \left|\frac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n}\right| \le\frac{1 + 1 +\tfrac12}{2^n} =\frac{5}{2^{n+1}} \end{aligned}

급수 ∑n=1∞52n+1\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{2^{n+1}} 은 공비가 r=12r=\frac{1}{2} 인 등비급수이므로 수렴한다. 직접 비교판정법에 의해 ∑n=1∞∣sin⁡2n−cos⁡2n+122n∣\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n}\right| 도 수렴한다. 따라서 ∑n=1∞sin⁡2n−cos⁡2n+122n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n} 은 절대수렴하므로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The terms of this series are sometimes negative and sometimes positive. But, they are not strictly alternating, so we can't use the alternating series test. Instead, we use a direct comparison test to show the series converges absolutely.

∣sin⁡2n−cos⁡2n+122n∣≤1+1+122n=52n+1\begin{aligned} \left|\frac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n}\right| \le\frac{1 + 1 +\tfrac12}{2^n} =\frac{5}{2^{n+1}} \end{aligned}

The series ∑n=1∞52n+1\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{2^{n+1}} converges, because it's a geometric series with r=12r=\frac{1}{2}. By the direct comparison test, ∑n=1∞∣sin⁡2n−cos⁡2n+122n∣\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n}\right| converges as well. Then ∑n=1∞sin⁡2n−cos⁡2n+122n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n} converges absolutely, so it converges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.4절 · 10번우리말 번역

급수 ∑n=1∞sin⁡nn2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}{n^2} 이 수렴함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 수열에는 양의 항도 있고 음의 항도 있어서 쓸 수 있는 판정법이 제한된다. 그러나 급수 ∑n=1∞∣sin⁡nn2∣\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right| 을 생각하면 직접 비교판정법을 쓸 수 있다.

모든 nn 에 대해 ∣sin⁡n∣<1| \sin n| <1 이므로 0≤∣sin⁡nn2∣<1n20\le \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right|<\dfrac{1}{n^2} 이다. ∑n=1∞1n2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} 이 수렴하므로 직접 비교판정법에 의해 ∑n=1∞∣sin⁡nn2∣\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\dfrac{\sin n}{n^2}\right| 도 수렴한다. 그러면 ∑n=1∞sin⁡nn2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}{n^2} 은 절대수렴하며, 특히 수렴한다.

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# 절대수렴과 조건수렴증명·논술보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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