절대수렴과 조건수렴 연습문제 — CLP-2 · 3.4절 · 14번

CLP-2 · 3.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 사실은 증명 없이 사용해도 됩니다. $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} = \cos(1)$ 이 사실을 이용하여 $\cos 1$ 을 오차가 $\frac1{1000}$ 이내인 유리수로 어림하세요.

계산기로 구한 $\cos(1)$ 의 근삿값과 비교하여 답을 확인하세요. 실제 오차는 얼마였나요?

영어 원문 보기

You may assume without proof the following: $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} = \cos(1)$ Using this fact, approximate $\cos 1$ as a rational number, accurate to within $\frac1{1000}$ .

Check your answer against a calculator's approximation of $\cos(1)$ : what was your actual error?

정답·풀이 보기

$N$ 번째 항까지 사용한 근삿값의 오차는 최대 $\frac{1}{(2(N+1))!}$ 이다. $\frac{1}{(2(N+1))!}<\frac{1}{1000}$ 이어야 한다. $N$ 의 작은 값들을 확인해 보면 $8!=40320>1000$ 이므로, $N=3$ 이면 $\frac{1}{2(N+1)!}=\frac{1}{40320}<\frac{1}{1000}$ 이다. 따라서 근삿값을 구하려면 급수의 처음 네 항만 고려하면 충분하다.

$\begin{aligned} \cos(1)&\approx \sum_{N=0}^3 \frac{(-1)^n}{(2n)!} = \frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}\\ &=1-\frac12+\frac{1}{24}-\frac{1}{720}\\ &=\frac{720-360+30-1}{720}=\frac{389}{720} \end{aligned}$

계산기를 사용하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \frac{389}{720}&=0.5402\overline{77} \\ \cos(1)&\approx 0.540302\\ \cos(1) - \frac{389}{720}&\approx 0.000024528\approx \frac{1}{40770} \end{aligned}$

따라서 오차는 우리가 구한 한계 $\frac{1}{40320}$ 에 상당히 가깝고, $\frac{1}{1000}$ 보다는 훨씬 작다.

원본 교재 풀이(영어)

The error in our approximation using through term $N$ is at most $\frac{1}{(2(N+1))!}$ . We want $\frac{1}{(2(N+1))!}<\frac{1}{1000}$ . By checking small values of $N$ , we see that $8!=40320>1000$ , so if $N=3$ , then $\frac{1}{2(N+1)!}=\frac{1}{40320}<\frac{1}{1000}$ . So, for our approximation, it suffices to consider the first four terms of our series.

When we use a calculator, we see

$\begin{aligned} \frac{389}{720}&=0.5402\overline{77} \\ \cos(1)&\approx 0.540302\\ \cos(1) - \frac{389}{720}&\approx 0.000024528\approx \frac{1}{40770} \end{aligned}$

So, our error is reasonably close to our bound of $\frac{1}{40320}$ , and far smaller than $\frac{1}{1000}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.4절 · 3번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{9n+5}$ 이 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 발산하는지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{9n+5}$ 은 교대급수 판정법에 의해 수렴한다. 한편 급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\big|\frac{(-1)^n}{9n+5}\big| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9n+5}$ 은 $b_n=\frac{1}{n}$ 과의 극한비교판정법에 의해 발산한다. 따라서 주어진 급수는 조건수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

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