멱급수와 수렴 반경 연습문제 — CLP-2 · 3.5절 · 22번

CLP-2 · 3.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

$\big\{a_n \big\}$ 은 어떤 실수 $C > 0$ 에 대해 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $na_n$ 이 $C$ 로 감소하는 수열이라고 하자.

(a) $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n$ 의 수렴 반지름을 구하세요. 답의 근거를 꼼꼼히 설명하세요.

(b) 위 거듭제곱급수의 수렴 구간, 즉 (a)의 거듭제곱급수가 수렴하는 모든 $x$ 를 구하세요. 답의 근거를 꼼꼼히 설명하세요.

영어 원문 보기

Assume $\big\{a_n \big\}$ is a sequence such that $na_n$ decreases to $C$ as $n \rightarrow\infty$ for some real number $C > 0$

(a) Find the radius of convergence of $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n$ . Justify your answer carefully.

(b) Find the interval of convergence of the above power series, that is, find all $x$ for which the power series in (a) converges. Justify your answer carefully.

정답·풀이 보기

(a) 수렴 반지름 $R$ 은 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} \frac{1}{R} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}\ \frac{(n+1)a_{n+1}}{na_n} = 1 \frac{C}{C} = 1 \end{aligned}$

이는 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} na_n=C$ 라고 주어졌기 때문이다. 따라서 $R=1$ 이다.

(b) 수렴 반지름이 $1$ 임을 알면, 급수는 $|x|<1$ 에서 수렴하고 $|x|>1$ 에서 발산한다. 남은 것은 $x\pm 1$ 인 경우이다.

$x=+1$ 일 때 급수는 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 된다. $na_n$ 이 $C>0$ 으로 감소한다고 주어졌으므로 $a_n\ge \frac{C}{n}$ 이다. $p=1$ 인 $p$ -판정법에 의해 발산하는 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 과 비교판정법을 쓰면, $x=1$ 일 때 이 급수는 발산한다.

$x=-1$ 일 때 급수는 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ 이 된다. $na_n$ 이 $C>0$ 으로 감소한다고 주어졌으므로 $a_n>0$ 이고 $n\rightarrow\infty$ 일 때 $a_n$ 은 $0$ 으로 수렴한다. 따라서 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ 은 교대급수판정법에 의해 수렴한다.

결론적으로 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n$ 은 $-1\le x< 1$ 에서 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We know that the radius of convergence $R$ obeys

$\begin{aligned} \frac{1}{R} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}\ \frac{(n+1)a_{n+1}}{na_n} = 1 \frac{C}{C} = 1 \end{aligned}$

because we are told that $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} na_n=C$ . So $R=1$ .

(b) Just knowing that the radius of convergence is $1$ , we know that the series converges for $|x|<1$ and diverges for $|x|>1$ . That leaves $x\pm 1$ .

When $x=+1$ , the series reduces to $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ . We are told that $na_n$ decreases to $C>0$ . So $a_n\ge \frac{C}{n}$ . By the comparison test with the harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ , which diverges by the $p$ –test with $p=1$ , our series diverges when $x=1$ .

When $x=-1$ , the series reduces to $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ . We are told that $na_n$ decreases to $C>0$ . So $a_n>0$ and $a_n$ converges to $0$ as $n\rightarrow\infty$ . Consequently $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ converges by the alternating series test.

In conclusion $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n$ converges when $-1\le x< 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.5절 · 18번우리말 번역

다음 급수

$\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{3^{2n}\log n}$

이 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 발산하는지에 따라 $x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

비판정법을 두 번 적용하는 것으로 시작한다.

한 번은 $n^{\rm th}$ 항이 $a_n=\frac{x^n}{3^{2n}\log n}$ 인 급수에 적용하고,
한 번은 $n^{\rm th}$ 항이 $a_n=\big|\frac{x^n}{3^{2n}\log n}\big|$ 인 급수에 적용한다.

두 급수 모두, 즉 두 $a_n$ 모두에 대해

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \bigg| \frac{ a_{n+1} }{ a_n } \bigg| &= \lim_{n\to\infty} \bigg| \frac{x^{n+1}}{3^{2(n+1)}\log(n+1)} \ \frac{3^{2n}\log n}{x^n} \bigg| \\ &= \lim_{n\to\infty} \bigg| \frac{x\log n}{3^2\log(n+1)} \bigg| =\lim_{n\to\infty} \bigg| \frac{x\log n}{3^2[\log(n)+\log(1+1/n)]} \bigg| \\ &=\lim_{n\to\infty} \bigg| \frac{x}{3^2[1+\log(1+1/n)/\log(n)]} \bigg| \\ &=\frac{|x|}{9} \end{aligned}$

이다. 따라서 비판정법에 의해 $|x|<9$ 일 때 급수 $\sum_{n=2}^\infty \big|\frac{x^n}{3^{2n}\log n}\big|$ 는 수렴하고 급수 $\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{3^{2n}\log n}$ 는 절대수렴하며, $|x|> 9$ 일 때 급수 $\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{3^{2n}\log n}$ 는 발산한다. 이제 $x=\pm 9$ 만 남는다.

$x=-9$ 일 때 $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{3^{2n}\log n} =\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\log n}$ 이고, 이 급수는 교대급수 판정법에 의해 수렴한다.

$x=+9$ 일 때 $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{3^{2n}\log n} =\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\log n}$ 이고, 이는 $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\Big|\frac{(-1)^n}{\log n}\Big|$ 과 같은 급수이다. 곧 $n\ge\log n$ 임을 보일 것이며, 따라서 모든 $n\ge 1$ 에 대해 $\frac{1}{\log n}\ge \frac{1}{n}$ 이다. 이로부터 급수 $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\log n}$ 은 발산하는 급수 $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^p}\bigg|_{p=1}$ 과의 비교에 의해 발산한다. 이로써 $x=9$ 일 때의 발산과 $x=-9$ 일 때 절대수렴하지 않음이 모두 얻어진다.

마지막으로, 모든 $n\ge 1$ 에 대해 $n-\log n > 0$ 임을 보인다. $f(x)=x-\log x$ 라 하자. 그러면 $f(1)=1>0$ 이고

$f'(x) = 1 -\frac{1}{x} \ge 0\qquad\text{모든 }x\ge 1$

이다. 따라서 $f(x)$ 는 $x=1$ 일 때 (엄밀하게) 양수이고, 모든 $x\ge 1$ 에 대해 증가한다. 그러므로 $f(x)$ 는 모든 $x\ge 1$ 에 대해 (엄밀하게) 양수이다.

이 문제로 이어서 풀기

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