빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

멱급수와 수렴 반경

멱급수의 수렴 반경과 수렴 구간을 구하고, 함수를 멱급수로 나타낸다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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106문제 · 1 / 6쪽

1.OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 명제가 참인지 말하고, 거짓이면 그것을 보이는 예를 드세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 수렴하면 $n\to \infty$ 일 때 ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, state whether each statement is true, or give an example to show that it is false.

If $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges, then ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ as $n\to \infty .$

정답·풀이 보기

참이다. 급수가 수렴하면 그 항은 0에 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

True. If a series converges then its terms tend to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번

# 멱급수와 수렴 반경증명·논술자동 분류

2.OpenStax 2권 · 6.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 명제가 참인지 말하고, 거짓이면 그것을 보이는 예를 드세요.

임의의 실수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 은 $x=0$ 에서 수렴한다.

영어 원문 보기

In the following exercises, state whether each statement is true, or give an example to show that it is false.

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges at $x=0$ for any real numbers ${a}_{n}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 51번

# 멱급수와 수렴 반경증명·논술자동 분류

3.OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

임의의 수열 ${a}_{n}$ 에 대하여, 매우 작을 수도 있는 어떤 $R>0$ 이 항상 존재하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $(-R,R)$ 에서 수렴한다.

영어 원문 보기

Given any sequence ${a}_{n},$ there is always some $R>0,$ possibly very small, such that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges on $(-R,R).$

정답·풀이 보기

거짓이다. 그렇다면 $|x|<R$ 에 대해 ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ 이어야 한다. ${a}_{n}={n}^{n}$ 이면 ${a}_{n}{x}^{n}={(nx)}^{n}$ 은 $x\ne 0$ 인 어떤 $x$ 에 대해서도 0에 수렴하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

False. It would imply that ${a}_{n}{x}^{n}\to 0$ for $|x|<R.$ If ${a}_{n}={n}^{n},$ then ${a}_{n}{x}^{n}={(nx)}^{n}$ does not tend to zero for any $x\ne 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 5번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

4.OpenStax 2권 · 6.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름이 $R>0$ 이고 모든 n 에 대해 $|{b}_{n}|\le |{a}_{n}|$ 이면, $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름은 R 보다 크거나 같다.

영어 원문 보기

If $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ has radius of convergence $R>0$ and if $|{b}_{n}|\le |{a}_{n}|$ for all n, then the radius of convergence of $\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n}$ is greater than or equal to R.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 17번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

5.OpenStax 2권 · 6.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-3)}^{n}$ 이 $x=6$ 에서 수렴한다고 하자. 다음 중 이 급수가 발산할 수도 있는 점은 어느 것인지 구하세요. $\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 x 에서 수렴하면 c 에 x 보다 더 가까운 모든 점에서도 수렴한다는 사실을 이용하세요.

a. $x=1$ b. $x=2$ c. $x=3$ d. $x=0$ e. $x=5.99$ f. $x=0.000001$

영어 원문 보기

Suppose that $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-3)}^{n}$ converges at $x=6.$ At which of the following points might the series diverge? Use the fact that if $\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n}$ converges at x, then it converges at any point closer to c than x.

a. $x=1$ b. $x=2$ c. $x=3$ d. $x=0$ e. $x=5.99$ f. $x=0.000001$

정답·풀이 보기

이 급수는 $(0,6]$ 에서 반드시 수렴하므로 a. $x=1;$ b. $x=2;$ c. $x=3;$ d. $x=0;$ e. $x=5.99;$ f. $x=0.000001$ 에서 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

It must converge on $(0,6]$ and hence at: a. $x=1;$ b. $x=2;$ c. $x=3;$ d. $x=0;$ e. $x=5.99;$ and f. $x=0.000001.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

6.OpenStax 2권 · 6.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x+1)}^{n}$ 이 $x=-2$ 에서 수렴한다고 하자. 다음 중 이 급수가 반드시 수렴하는 점은 어느 것인지 구하세요. $\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 x 에서 수렴하면 c 에 x 보다 더 가까운 모든 점에서도 수렴한다는 사실을 이용하세요.

a. $x=2$ b. $x=-1$ c. $x=-3$ d. $x=0$ e. $x=0.99$ f. $x=0.000001$

영어 원문 보기

Suppose that $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x+1)}^{n}$ converges at $x=-2.$ At which of the following points must the series also converge? Use the fact that if $\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n}$ converges at x, then it converges at any point closer to c than x.

a. $x=2$ b. $x=-1$ c. $x=-3$ d. $x=0$ e. $x=0.99$ f. $x=0.000001$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

7.OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정하고, 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}$

정답·풀이 보기

$|\frac{{a}_{n+1}{2}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}}|=2|x||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 2|x|$ so $R=\frac{1}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$|\frac{{a}_{n+1}{2}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}}|=2|x||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 2|x|$ so $R=\frac{1}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 3번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

8.OpenStax 2권 · 6.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정하고, 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{x}^{n}}{{2}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{x}^{n}}{{2}^{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 33번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

9.OpenStax 2권 · 6.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{\pi }^{n}{x}^{n}}{{e}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{\pi }^{n}{x}^{n}}{{e}^{n}}$

정답·풀이 보기

$|\frac{{a}_{n+1}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n}{x}^{n}}|=\frac{\pi |x|}{e}|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to \frac{\pi |x|}{e}$ so $R=\frac{e}{\pi }$

원본 교재 풀이(영어)

$|\frac{{a}_{n+1}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n}{x}^{n}}|=\frac{\pi |x|}{e}|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to \frac{\pi |x|}{e}$ so $R=\frac{e}{\pi }$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

10.OpenStax 2권 · 6.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{n}}{{10}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{n}}{{10}^{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 33번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

11.OpenStax 2권 · 6.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}$

정답·풀이 보기

$|\frac{{a}_{n+1}{(-1)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}}|=|{x}^{2}||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to |{x}^{2}|$ so $R=1$

원본 교재 풀이(영어)

$|\frac{{a}_{n+1}{(-1)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}}|=|{x}^{2}||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to |{x}^{2}|$ so $R=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

12.OpenStax 2권 · 6.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $n\to \infty$ 일 때 $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-4)}^{n}{x}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1$ as $n\to \infty .$ Find the radius of convergence for each series.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-4)}^{n}{x}^{2n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 43번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

13.OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대하여 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(2x)}^{n}}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(2x)}^{n}}{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{{2}^{n}}{n}$ 이므로 $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to 2x$ . 따라서 $R=\frac{1}{2}.$ $x=\frac{1}{2}$ 일 때 급수는 조화급수이므로 발산한다. $x=-\frac{1}{2}$ 일 때 급수는 교대조화급수이므로 수렴한다. 수렴 구간은 $I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{{2}^{n}}{n}$ so $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to 2x.$ so $R=\frac{1}{2}.$ When $x=\frac{1}{2}$ the series is harmonic and diverges. When $x=-\frac{1}{2}$ the series is alternating harmonic and converges. The interval of convergence is $I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 15번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

14.OpenStax 2권 · 6.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{n}}{\sqrt{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{n}}{\sqrt{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 25번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

15.OpenStax 2권 · 6.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n}}{{2}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n}}{{2}^{n}}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$ 이므로 $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to \frac{x}{2}$ 이고, 따라서 $R=2$ 이다. $x=\pm 2$ 일 때 급수는 발산 판정법에 의해 발산한다. 수렴 구간은 $I=(-2,2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$ so $\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to \frac{x}{2}$ so $R=2.$ When $x=\pm 2$ the series diverges by the divergence test. The interval of convergence is $I=(-2,2).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 49번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

16.OpenStax 2권 · 6.1절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n}}{{e}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n}}{{e}^{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 4번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

17.OpenStax 2권 · 6.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{2}{x}^{n}}{{2}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{2}{x}^{n}}{{2}^{n}}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$ 이므로 $R=2$ 이다. $x=\pm 2$ 일 때 급수는 발산 판정법에 의해 발산한다. 수렴 구간은 $I=(-2,2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$ so $R=2.$ When $x=\pm 2$ the series diverges by the divergence test. The interval of convergence is $I=(-2,2).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

18.OpenStax 2권 · 6.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{k}^{e}{x}^{k}}{{e}^{k}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{k}^{e}{x}^{k}}{{e}^{k}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 17번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

19.OpenStax 2권 · 6.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{\pi }^{k}{x}^{k}}{{k}^{\pi }}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{\pi }^{k}{x}^{k}}{{k}^{\pi }}$

정답·풀이 보기

${a}_{k}=\frac{{\pi }^{k}}{{k}^{\pi }}$ 이므로 $R=\frac{1}{\pi }$ 이다. $x=\pm \frac{1}{\pi }$ 일 때 급수는 절대수렴하는 p-급수이다. 수렴 구간은 $I=\left[-\frac{1}{\pi },\frac{1}{\pi }\right]$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{k}=\frac{{\pi }^{k}}{{k}^{\pi }}$ so $R=\frac{1}{\pi }.$ When $x=\pm \frac{1}{\pi }$ the series is an absolutely convergent p-series. The interval of convergence is $I=\left[-\frac{1}{\pi },\frac{1}{\pi }\right].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 45번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

20.OpenStax 2권 · 6.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 계수 ${a}_{n}$ 에 대해 $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for $\sum {a}_{n}{x}^{n}$ with the given coefficients ${a}_{n}.$

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 24번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류