멱급수와 수렴 반경 연습문제 — CLP-2 · 3.5절 · 24번

CLP-2 · 3.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}A_n(x-c)^n$ 이라 하자. 여기서 $c$ 는 어떤 상수이고 $\{A_n\}$ 은 상수로 이루어진 수열이다. 또한 $f(x)$ 는 양의 수렴 반지름을 갖는다고 하자.

$A_1=0$ 이면 $y=f(x)$ 가 $x=c$ 에서 임계점을 가짐을 보이세요. 그 점에서 그래프의 모양과 $A_2$ 의 값 사이에는 어떤 관계가 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}A_n(x-c)^n$ , for some constant $c$ and a sequence of constants $\{A_n\}$ . Further, let $f(x)$ have a positive radius of convergence.

If $A_1=0$ , show that $y=f(x)$ has a critical point at $x=c$ . What is the relationship between the behaviour of the graph at that point and the value of $A_2$ ?

정답·풀이 보기

먼저 미분한다.

$\begin{aligned} f(x)&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}A_n(x-c)^n\\ f'(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}nA_n(x-c)^{n-1}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}nA_n(x-c)^{n-1}\\ f'(c)&=\sum_{n=1}^\infty nA_n\cdot 0^{n-1}\\ &=A_1\cdot 1 + 2A_2\cdot0+3A_3\cdot0+\cdots\\ &=A_1 \end{aligned}$

따라서 $A_1=0$ 이면 $f'(c)=0$ 이다. 즉, $f(x)$ 는 $x=c$ 에서 임계점을 갖는다.

이 임계점에서의 그래프의 모양을 알아보기 위해 이계도함수 판정법을 이용한다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}nA_n(x-c)^{n-1}\\ f''(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)A_n(x-c)^{n-2}\\ &=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)A_n(x-c)^{n-2}\\ f''(c)&=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)A_n\cdot 0^{n-2}\\ &=2(1)A_2\cdot 0^0+3(2)A_3\cdot 0^1+4(3)A_4\cdot 0^2+\cdots\\ &=2A_2 \end{aligned}$

이계도함수 판정법에 따라, $A_2<0$ 이면 $x=c$ 는 극댓값을 갖는 위치이고, $A_2>0$ 이면 극솟값을 갖는 위치이다. ( $A_2=0$ 이면 그 임계점은 극값일 수도 있고 아닐 수도 있다.)

원본 교재 풀이(영어)

First, we differentiate.

So, if $A_1=0$ , then $f'(c)=0$ . That is, $f(x)$ has a critical point at $x=c$ .

To determine the behaviour of this critical point, we use the second derivative test.

Following the second derivative test, $x=c$ is the location of a local maximum if $A_2<0$ , and it is the location of a local minimum if $A_2>0$ . (If $A_2=0$ , the critical point may or may not be a local extremum.)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.1절 · 47번우리말 번역

다음 연습문제를 이용하여, 이어지는 연습문제에 주어진 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}={({n}^{1/n}-1)}^{n}{x}^{n}$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}={({n}^{1/n}-1)}^{n}$ so ${({a}_{n})}^{1/n}\to 0$ so $R=\infty$

이 문제로 이어서 풀기

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