테일러·매클로린 급수 연습문제 — CLP-2 · 3.6절 · 48번

CLP-2 · 3.6절 · 48번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm{d}x\le\frac{1}{3}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm{d}x\le\frac{1}{3}$ .

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$\begin{aligned} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \ge 1+x\qquad\text{for all $x\ge 0$}\\ &\implies e^x-1\ge x \\ &\implies \frac{x^3}{e^x-1}\le \frac{x^3}{x} = x^2 \\ &\implies \int_0^1\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm{d}x \le \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.6절 · 52번우리말 번역

다음 함수를 생각하세요: $f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2} & x \neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}$

(a) $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 모든 0 이상의 정수 $n$ 에 대해 $f^{(n)}(0)=0$ 이라고 (증명 없이) 가정합니다. $f(x)$ 의 매클로린 급수를 구하세요. (c) $f(x)$ 의 매클로린 급수는 어디에서 수렴하는지 구하세요. (d) $x$ 의 어떤 값에 대해 $f(x)$ 가 그 매클로린 급수와 같은지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $y=f(x)$ 의 그래프를 그리기 위해 다음을 살펴본다.

$f(x)$ 는 결코 음수가 아니다.
$\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x)=e^0=1$ 이므로, 이 곡선은 양쪽 방향으로 $y=1$ 을 수평 점근선으로 갖는다.
$\lim\limits_{x \to \pm 0} f(x)=\lim\limits_{x \to \pm 0} \frac{1}{e^{1/x^2}}=\lim\limits_{u \to +\infty}\frac{1}{e^u}=0=f(0)$ 이므로, 이 곡선은 $x=0$ 에서 연속이다.
$x\neq 0$ 일 때 $f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}$ 이므로, 이 곡선은 $(-\infty,0)$ 에서 감소하고 $(0,\infty)$ 에서 증가한다.
$x\neq 0$ 일 때 $f''(x)=2x^{-6}(2-3x^2)e^{-1/x^2}$ 이므로, 이 곡선은 $(-\sqrt{2/3},\sqrt{2/3})$ 에서 아래로 볼록이고 그 밖에서는 위로 볼록이다.

(b) 모든 0 이상의 정수 $n$ 에 대해 $f^{(n)}(0)=0$ 이고 (즉, 그래프가 원점에서 매우 평평하고), $f(0)=0$ 이므로, $f(x)$ 의 매클로린 급수는 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n=0$ 이다. (c) 매클로린 급수는 모든 실수 $x$ 에서 (상수 0 으로) 수렴한다. (d) 임의의 실수 $y$ 에 대해 $e^y>0$ 이므로, $f(x)=0$ 인 것은 $x=0$ 일 때뿐이다. 따라서 $f(x)$ 는 오직 한 점 $x=0$ 에서만 그 매클로린 급수와 같다.

참고: 함수 $f(x)$ 는 매클로린 급수가 수렴하지만 $f(x)$ 로 수렴하지는 않는 함수의 예이다! 이러한 성질을 설명하기 위해 $f(x)$ 를 *해석적이지 않다(비해석적)*고 말한다.

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# 테일러·매클로린 급수증명·논술도전자동 분류