테일러·매클로린 급수 연습문제 — CLP-2 · 3.6절 · 52번

CLP-2 · 3.6절 · 52번대학 수준우리말 번역

다음 함수를 생각하세요: $f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2} & x \neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}$

(a) $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 모든 0 이상의 정수 $n$ 에 대해 $f^{(n)}(0)=0$ 이라고 (증명 없이) 가정합니다. $f(x)$ 의 매클로린 급수를 구하세요. (c) $f(x)$ 의 매클로린 급수는 어디에서 수렴하는지 구하세요. (d) $x$ 의 어떤 값에 대해 $f(x)$ 가 그 매클로린 급수와 같은지 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the following function: $f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2} & x \neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}$

(a) Sketch $y=f(x)$ . (b) Assume (without proof) that $f^{(n)}(0)=0$ for all whole numbers $n$ . Find the Maclaurin series for $f(x)$ . (c) Where does the Maclaurin series for $f(x)$ converge? (d) For which values of $x$ is $f(x)$ equal to its Maclaurin series?

정답·풀이 보기

(a) $y=f(x)$ 의 그래프를 그리기 위해 다음을 살펴본다.

$f(x)$ 는 결코 음수가 아니다.
$\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x)=e^0=1$ 이므로, 이 곡선은 양쪽 방향으로 $y=1$ 을 수평 점근선으로 갖는다.
$\lim\limits_{x \to \pm 0} f(x)=\lim\limits_{x \to \pm 0} \frac{1}{e^{1/x^2}}=\lim\limits_{u \to +\infty}\frac{1}{e^u}=0=f(0)$ 이므로, 이 곡선은 $x=0$ 에서 연속이다.
$x\neq 0$ 일 때 $f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}$ 이므로, 이 곡선은 $(-\infty,0)$ 에서 감소하고 $(0,\infty)$ 에서 증가한다.
$x\neq 0$ 일 때 $f''(x)=2x^{-6}(2-3x^2)e^{-1/x^2}$ 이므로, 이 곡선은 $(-\sqrt{2/3},\sqrt{2/3})$ 에서 아래로 볼록이고 그 밖에서는 위로 볼록이다.

(b) 모든 0 이상의 정수 $n$ 에 대해 $f^{(n)}(0)=0$ 이고 (즉, 그래프가 원점에서 매우 평평하고), $f(0)=0$ 이므로, $f(x)$ 의 매클로린 급수는 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n=0$ 이다. (c) 매클로린 급수는 모든 실수 $x$ 에서 (상수 0 으로) 수렴한다. (d) 임의의 실수 $y$ 에 대해 $e^y>0$ 이므로, $f(x)=0$ 인 것은 $x=0$ 일 때뿐이다. 따라서 $f(x)$ 는 오직 한 점 $x=0$ 에서만 그 매클로린 급수와 같다.

참고: 함수 $f(x)$ 는 매클로린 급수가 수렴하지만 $f(x)$ 로 수렴하지는 않는 함수의 예이다! 이러한 성질을 설명하기 위해 $f(x)$ 를 *해석적이지 않다(비해석적)*고 말한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) To sketch $y=f(x)$ , we note the following:

$f(x)$ is never negative.
$\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x)=e^0=1$ , so the curve has horizontal asymptotes in both directions at $y=1$ .
$\lim\limits_{x \to \pm 0} f(x)=\lim\limits_{x \to \pm 0} \frac{1}{e^{1/x^2}}=\lim\limits_{u \to +\infty}\frac{1}{e^u}=0=f(0)$ , so the curve is continuous at $x=0$ .
For $x\neq 0$ , $f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}$ , so our curve is decreasing on $(-\infty,0)$ and increasing on $(0,\infty)$
For $x\neq 0$ , $f''(x)=2x^{-6}(2-3x^2)e^{-1/x^2}$ , so our curve is concave up on $(-\sqrt{2/3},\sqrt{2/3})$ , and concave down elsewhere.

(b) Since $f^{(n)}(0)=0$ for all whole $n$ (that is, the graph is really quite flat at the origin), and since $f(0)=0$ , the Maclaurin series for $f(x)$ is $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n=0$ . (c) The Maclaurin series converges for all real values of $x$ (to the constant 0). (d) Since $e^y>0$ for any real $y$ , we see $f(x)=0$ only when $x=0$ . So, $f(x)$ is only equal to its Maclaurin series at the single point $x=0$ .

Remark: the function $f(x)$ is an example of a function whose Maclaurin series converges, but not to $f(x)$ ! To describe this behaviour, we say $f(x)$ is non-analytic.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.6절 · 49번우리말 번역

$\displaystyle \cosh(x) =\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 라 하자.

(a) $x_0 = 0$ 에서 $\cosh(x)$ 의 거듭제곱급수 전개를 구하고, 그 수렴 구간을 구하세요. (b) $3\frac{2}{3}\le \cosh(2) \le 3\frac{2}{3} + 0.1$ 임을 보이세요. (c) 모든 $t$ 에 대해 $\cosh(t) \le e^{\frac{1}{2}t^2}$ 임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 모든 $x$ 에 대해 $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 임을 알고 있다. $x$ 를 $-x$ 로 바꾸면, 모든 $x$ 에 대해 $e^{-x} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}$ 이고, 따라서

$\begin{aligned} \cosh(x) =\frac{1}{2}\big[e^x+e^{-x}\big] =\frac{1}{2}\Big[\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}\Big] = \sum_{\genfrac{}{}{0pt}{}{n=0}{n\text{ even}}}^\infty\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}$

이 모든 $x$ 에 대해 성립한다. 특히 수렴 구간은 실수 전체이다.

(b) (a)의 거듭제곱급수 전개를 이용하면,

$\begin{aligned} \cosh(2) &= 1 +\frac{2^2}{2!}+\frac{2^4}{4!} +\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} = 3\frac{2}{3} +\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}$

따라서 $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}\le 0.1$ 임을 보이면 충분하다. $b_n = \frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 이라 하자. $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 의 첫째 항은

$b_3 = \frac{2^6}{6!} = \frac{2^6}{6 \times 5 \times 4 \times 3\times 2} = \frac{4}{45}$

이다. $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 에서 이웃한 항 사이의 비는

$\begin{aligned} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{2n+2}/2^{2n}}{(2n+2)!/(2n)!} =\frac{4}{(2n+2)(2n+1)} \le \frac{4}{8\times 7} =\frac{1}{14}\qquad \text{모든 }n\ge 3\text{ 에 대해} \end{aligned}$

이다. 그러므로

$\begin{aligned} \sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} &\le \overbrace{\frac{4}{45}}^{b_3} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14}}^{b_4\le} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14^2}}^{b_5\le} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14^3}}^{b_6\le} + \cdots\\ &=\frac{4}{45}\,\frac{1}{1-\frac{1}{14}} =\frac{4}{45}\,\frac{14}{13} =\frac{56}{585}<\frac{1}{10} \end{aligned}$

이다.

(c)

$\cosh(t) = \sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(t^2)}^n}{(2n)!} \qquad\text{그리고}\qquad e^{\frac{1}{2}t^2} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(\frac{1}{2}t^2)}^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(t^2)}^n}{2^n n!}$

을 비교하면, $(2n)! \ge 2^n n!$ 임을 보이면 충분하다. 이제 모든 $n\ge 1$ 에 대해,

$\begin{aligned} (2n)! &=\overbrace{1\times 2\times\cdots\times n}^{n\text{개의 인수}} \overbrace{(n+1)\times (n+2)\times\cdots\times 2n}^{n\text{개의 인수}} \\ &\ge\overbrace{1\times 2\times\cdots\times n}^{n\text{개의 인수}} \overbrace{2\times 2\times\cdots\times 2}^{n\text{개의 인수}} \\ &=2^n\, n! \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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