테일러·매클로린 급수 연습문제 — CLP-2 · 3.6절 · 51번

CLP-2 · 3.6절 · 51번대학 수준우리말 번역

$f(x)=\arctan(x^3)$ 이라 하자. 아크탄젠트의 매클로린 급수를 이용하여 $f^{(10)}\left(\frac{1}{5} \right)$ 을 오차가 $10^{-6}$ 보다 작도록 유리수들의 합으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\arctan(x^3)$ . Write $f^{(10)}\left(\frac{1}{5} \right)$ as a sum of rational numbers with an error less than $10^{-6}$ using the Maclaurin series for arctangent.

정답·풀이 보기

풀이 계획은 다음과 같다.

$f(x)$ 의 테일러 급수를 만든다.
$f(x)$ 의 테일러 급수의 10계 도함수를 구한다.
원하는 정확도를 얻으려면 몇 개의 항을 더해야 하는지 정한다.
$f^{(10)}\left(\frac15\right)$ 을 부분합으로 근사한다.

$\arctan x$ 의 테일러 급수는 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 이고, 이 급수는 $-1\le x\le1$ 에서 수렴한다. 따라서 $\arctan(x^3)$ 의 테일러 급수는 $f(x)=\arctan(x^3)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(x^3)^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{6n+3}}{2n+1}$ 이다. 이 급수를 여러 번 미분하는 것이 $\arctan(x^3)$ 을 직접 여러 번 미분하는 것보다 훨씬 쉽다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(6n+3)x^{6n+2}}{2n+1}\\ f''(x)&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(6n+3)(6n+2)x^{6n+1}}{2n+1}\\ f'''(x)&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(6n+3)(6n+2)(6n+1)x^{6n}}{2n+1}\\ \vdots&\\ f^{(10)}(x)&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(6n+3)(6n+2)(6n+1)\cdots(6n-6)x^{6n-7}}{2n+1}\\ &=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n\frac{(6n+3)(6n+2)(6n+1)\cdots(6n-6)x^{6n-7}}{2n+1}\\ &=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n\frac{(6n+3)!}{(2n+1)(6n-7)!}x^{6n-7}\\ f^{(10)}\left(\frac{1}{5}\right)&=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n\frac{(6n+3)!}{(2n+1)(6n-7)!\cdot 5^{6n-7}} \end{aligned}$

(10번 미분하면 $a_0$ 과 $a_1$ 항이 모두 0이 됨에 주목한다.)

이 급수는 교대급수이므로 근사 $S_N$ 을 사용할 때의 절대 오차는 많아야 $|a_{N+1}|=\frac{(6N+9)!}{(2N+3)(6N-1)!\cdot 5^{6N-1}}$ 이다. $N$ 의 몇몇 값을 시험해 보면 $|a_6|=|a_{5+1}|=\frac{39!}{(13)(29!)\cdot 5^{29}}\approx 0.00000095<10^{-6}$ 을 얻는다. 따라서 $S_5$ 로 충분히 근사할 수 있다. 즉,

$\begin{aligned} f^{(10)}\left(\frac15\right)&\approx \sum_{n=2}^5 (-1)^n\frac{(6n+3)!}{(2n+1)(6n-7)!\cdot 5^{6n-7}}\\ &=(-1)^2\frac{15!}{5\cdot 5!\cdot 5^{5}}+(-1)^3\frac{21!}{7!\cdot 11!\cdot 5^{11}}+ (-1)^4\frac{27!}{9!\cdot 17!\cdot 5^{17}}+ (-1)^5\frac{33!}{11!\cdot 23!\cdot 5^{23}}\\ &=\frac{15!}{5!\cdot5^6}-\frac{21!}{7!\cdot 11!\cdot 5^{11}}+\frac{27!}{9!\cdot 17!\cdot 5^{17}}-\frac{33!}{11!\cdot 23!\cdot 5^{23}} \end{aligned}$

참고: 급수 대신 미분 법칙을 사용하여 $f^{(10)}(1/5)$ 을 직접 계산했다면 정확한 값을 구했을 것이다. 그러나 여기서 구한 값은 더 쉽게 구할 수 있고, (정확하지는 않더라도) 매우 정확하다.

원본 교재 풀이(영어)

Our plan is as follows:

Make a Taylor series for $f(x)$
Calculate the tenth derivative of the Taylor series of $f(x)$ .
Decide how many terms we need to add to achieve the desired accuracy.
Approximate $f^{(10)}\left(\frac15\right)$ with a partial sum.

We know that the Taylor series for $\arctan x$ is $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ , which converges for $-1\le x\le1$ . So, the Taylor series for $\arctan(x^3)$ is $f(x)=\arctan(x^3)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(x^3)^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{6n+3}}{2n+1}$ It is much easier to differentiate this series many times than it is to differentiate $\arctan(x^3)$ directly many times.

(Notice, after ten differentiations, the terms $a_0$ and $a_1$ are both zero.)

Since this is an alternating series, the absolute error involved in using the approximation $S_N$ is at most $|a_{N+1}|=\frac{(6N+9)!}{(2N+3)(6N-1)!\cdot 5^{6N-1}}$ By testing a few values of $N$ , we find $|a_6|=|a_{5+1}|=\frac{39!}{(13)(29!)\cdot 5^{29}}\approx 0.00000095<10^{-6}$ So, $S_5$ is a sufficient approximation. That is,

Remark: if we had calculated $f^{(10)}(1/5)$ directly, using derivative rules instead of series, we would have found an exact value; however, our value here is easier to find, and is highly accurate (if not exact).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.6절 · 50번우리말 번역

도구의 법칙은 "망치를 가지고 있으면 모든 것이 못처럼 보인다"는 것인데, 이는 실제로 "도구를 일에 맞추기보다 일을 도구에 맞추려는 경향"을 설명하는 말이다. (실밴 톰킨스의 성격의 컴퓨터 시뮬레이션: 심리 이론의 최전선에서 인용함. 버밍엄 스크루드라이버도 참고하라.) 어쨌든 이는 테일러 급수를 이용해 계산하는 방법을 안다고 해서 다른 기법을 소홀히 해서는 안 된다는 것을 길게 돌려 말한 것이다.

(a) 뉴턴 방법을 이용하여 상수 $\sqrt[3]{2}$ 를 함수 $g(x)=x^3-2$ 의 근으로 보고 어림하세요. 계산기를 사용하여 0.01 이내의 오차로 정확하게 어림하세요. (b) 모든 실수 $x$ 에 대해 다음이 성립함을 증명 없이 가정해도 됩니다. $\sqrt[3]{x}=1+\frac{1}{6}(x-1)+\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2)(5)(8)\cdots(3n-4)}{3^n\, n!}(x-1)^n.$ 이 급수가 교대급수라는 사실을 이용하여, 부분합이 $\sqrt[3]{2}$ 를 오차 0.01 미만으로 어림하려면 몇 개의 항을 더해야 할까요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 뉴턴 방법에서는 함수 $g(x)$ 의 근을 반복하여 어림한다. 어림값 $x_n$ 이 주어지면 다음 어림값은 $x_{n+1}=x_n-\dfrac{g(x_n)}{g'(x_n)}$ 이다. 이 경우 $x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^3-2}{3x_n^2}=\frac23\left(x_n+\frac{1}{x_n^2}\right).$

구하려는 실제 근에 어느 정도 가까운 곳에서 시작하는 것이 좋으므로 $x_0=1$ 로 놓자. (시작점은 달라도 된다.)

$\begin{aligned} x_0&=1 &&\implies x_1=\dfrac23\left(1+\frac11\right)=\dfrac{4}{3}&\approx&1.3333\\ x_1&=\dfrac43 &&\implies x_2=\dfrac23\left(\frac43+\frac{9}{16}\right)=\dfrac{91}{72}&\approx&1.2639\\ x_2&=\dfrac{91}{72} &&\implies x_3=\dfrac23\left(\dfrac{91}{72}+\dfrac{72^2}{91^2}\right)=\dfrac{1126819 }{894348 }&\approx&1.2599\\ x_3&=\dfrac{1126819 }{894348 } &&\implies x_4=\dfrac23\left(\dfrac{1126819 }{894348 }+\dfrac{894348^2}{1126819^2}\right)&\approx&1.2599 \end{aligned}$

따라서 $\sqrt[3]{2}\approx 1.26$ 이다. (b) 주어진 급수에 $x=2$ 를 대입하면 다음 급수를 얻는다. $\sqrt[3]{2}=1+\frac{1}{6}+\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2)(5)(8)\cdots(3n-4)}{3^n\, n!}.$ 이 급수는 교대급수이므로 부분합 $S_N$ 을 사용하면 절대 오차는 많아야 $|a_{N+1}|=\frac{(2)(5)(8)\cdots(3N-1)}{3^{N+1}\, (N+1)!}$ 이다. (단, $N \ge 2$ 일 때.) 이 값이 0.01 이하가 되게 하는 $N$ 의 값을 알아야 하므로 여러 값을 시험해 본다.

$\begin{array}{|c|c|}\hline N & |a_{N+1}| \\ \hline \text{3} & \dfrac{(2)(5)(8)}{3^4\cdot 4!}\approx 0.04 \\ \hline \text{4} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)}{3^5\, 5!}\approx 0.03 \\ \hline \text{5} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)}{3^6\, 6!}\approx 0.023 \\ \hline \text{6} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)}{3^7\, 7!}\approx 0.019 \\ \hline \text{7} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)}{3^8\, 8!}\approx 0.016 \\ \hline \text{8} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)(23)}{3^9\, 9!}\approx 0.013 \\ \hline \text{9} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)(23)(26)}{3^{10}\, 10!}\approx 0.012 \\ \hline \text{10} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)(23)(26)(29)}{3^{11}\, 11!}\approx 0.0103 \\ \hline \text{11} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)(23)(26)(29)(32)}{3^{12}\, 12!}\approx 0.009 \\ \hline \end{array}$

따라서 어림값 $S_{11}$ 의 오차가 충분히 작다. 즉, 처음 12개의 항을 더하면 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수계산도전자동 분류