공간좌표 연습문제 — CLP-3 · 1.1절 · 2번

CLP-3 · 1.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^2$ 에서 다음을 만족하는 모든 점 $(x,y)$ 의 집합을 설명하고 그래프를 그리세요.

(a) $x=y$ (b) $x+y=1$ (c) $x^2+y^2=4$ (d) $x^2+y^2=2y$ (e) $x^2+y^2<2y$

영어 원문 보기

Describe and sketch the set of all points $(x,y)$ in $\mathbb{R}^2$ that satisfy

(a) $x=y$ (b) $x+y=1$ (c) $x^2+y^2=4$ (d) $x^2+y^2=2y$ (e) $x^2+y^2<2y$

정답·풀이 보기

(a) $x=y$ 는 직선이고 두 점 $(0,0)$ 과 $(1,1)$ 을 지난다. 따라서 원점을 지나고 $x$ 축 및 $y$ 축과 $45^\circ$ 의 각을 이루는 직선이다. 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다.

(b) $x+y=1$ 은 두 점 $(1,0)$ 과 $(0,1)$ 을 지나는 직선이다. 위 오른쪽 그림에 그려져 있다.

(d) 방정식 $x^2+y^2=2y$ 는 $x^2+(y-1)^2=1$ 과 같다. $x^2+(y-1)^2$ 은 $(0,1)$ 에서 $(x,y)$ 까지의 거리의 제곱이므로, $x^2+(y-1)^2=1$ 은 중심이 $(0,1)$ 이고 반지름이 1인 원이다. 위 오른쪽 그림에 그려져 있다.

(e) (d)와 같이,

$x^2+y^2<2y \iff x^2+y^2-2y<0 \iff x^2+y^2-2y+1<1 \iff x^2+(y-1)^2<1$

이다. $x^2+(y-1)^2$ 은 $(0,1)$ 에서 $(x,y)$ 까지의 거리의 제곱이므로, $x^2+(y-1)^2<1$ 은 $(0,1)$ 로부터의 거리가 $1$ 보다 엄밀하게 작은 점들의 집합이다. 즉, 중심이 $(0,1)$ 이고 반지름이 1인 원의 엄밀하게 안쪽에 있는 점들의 집합이다. 이 집합은 아래 그림에서 색칠한 부분(점선으로 그린 원은 포함하지 않음)이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $x=y$ is a straight line and passes through the points $(0,0)$ and $(1,1)$ . So it is the straight line through the origin that makes an angle $45^\circ$ with the $x$ – and $y$ –axes. It is sketched in the figure on the left below.

(b) $x+y=1$ is the straight line through the points $(1,0)$ and $(0,1)$ . It is sketched in the figure on the right above.

(c) $x^2+y^2$ is the square of the distance from $(0,0)$ to $(x,y)$ . So $x^2+y^2=4$ is the circle with centre $(0,0)$ and radius 2. It is sketched in the figure on the left below.

(d) The equation $x^2+y^2=2y$ is equivalent to $x^2+(y-1)^2=1$ . As $x^2+(y-1)^2$ is the square of the distance from $(0,1)$ to $(x,y)$ , $x^2+(y-1)^2=1$ is the circle with centre $(0,1)$ and radius 1. It is sketched in the figure on the right above.

(e) As in part (d),

$x^2+y^2<2y \iff x^2+y^2-2y<0 \iff x^2+y^2-2y+1<1 \iff x^2+(y-1)^2<1$

As $x^2+(y-1)^2$ is the square of the distance from $(0,1)$ to $(x,y)$ , $x^2+(y-1)^2<1$ is the set of points whose distance from $(0,1)$ is strictly less than $1$ . That is, it is the set of points strictly inside the circle with centre $(0,1)$ and radius 1. That set is the shaded region (not including the dashed circle) in the sketch below.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.1절 · 3번우리말 번역

다음 조건을 만족하는 $\mathbb{R}^3$ 의 모든 점 $(x,y,z)$ 의 집합을 설명하세요. 그 집합 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프를 그리세요.

(a) $z = x$ (b) $x + y + z = 1$ (c) $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ (d) $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ , $z = 1$ (e) $x^2+y^2=4$ (f) $z = x^2 + y^2$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 고정된 각 $y_0$ 에 대해 $z=x,\ y=y_0$ 은 평면 $y=y_0$ 위에 놓인 직선이다. (이 평면은 $x$ 축과 $z$ 축을 포함하는 평면과 평행하며, 그 평면으로부터의 거리가 $y_0$ 이다.) 이 직선은 $x=z=0$ 인 점을 지나고 $xy$ 평면과 $45^\circ$ 의 각을 이룬다. 이러한 직선( $y_0=0$ 인 경우)을 아래 그림에 그렸다. 집합 $z=x$ 는 $y_0$ 의 모든 값에 대한 직선 $z=x,\ y=y_0$ 들의 합집합이다. $y_0$ 가 변함에 따라 $z=x,\ y=y_0$ 은 $y$ 축을 포함하고 $xy$ 평면과 $45^\circ$ 의 각을 이루는 평면을 훑는다. 다음은 이 평면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

(b) $x+y+z=1$ 은 세 점 $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ 을 지나는 평면이다. 다음은 이 평면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

(c) $x^2+y^2+z^2$ 은 $(0,0,0)$ 에서 $(x,y,z)$ 까지의 거리의 제곱이다. 따라서 $x^2+y^2+z^2=4$ 는 $(0,0,0)$ 으로부터의 거리가 $2$ 인 점들의 집합이다. 이것은 중심이 $(0,0,0)$ 이고 반지름이 2인 구이다. 다음은 이 구 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

(d) $x^2+y^2+z^2=4$ , $z=1$ 은, 즉 $x^2+y^2=3$ , $z=1$ 은, 평면 $z=1$ 과 중심이 $(0,0,0)$ 이고 반지름이 2인 구의 교집합이다. 이것은 평면 $z=1$ 위에 있고 중심이 $(0,0,1)$ 이며 반지름이 $\sqrt{3}$ 인 원이다. 이 원 중 제1팔분공간에 있는 부분은 다음 그림에서 굵게 표시된 사분원이다.

(e) 고정된 각 $z_0$ 에 대해 $x^2+y^2=4$ , $z=z_0$ 은 평면 $z=z_0$ 위에 있고 중심이 $(0,0,z_0)$ 이며 반지름이 $2$ 인 원이다. 따라서 $x^2+y^2=4$ 는 $z_0$ 의 모든 가능한 값에 대한 $x^2+y^2=4,\ z=z_0$ 들의 합집합이다. 이것은 수평인 원들이 수직으로 쌓인 것이며, $z$ 축을 중심축으로 하고 반지름이 $2$ 인 원기둥이다. 다음은 이 원기둥 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

(f) 고정된 각 $z_0\ge 0$ 에 대해 곡선 $z = x^2 + y^2,\ z=z_0$ 은 평면 $z=z_0$ 위에 있고 중심이 $(0,0,z_0)$ 이며 반지름이 $\sqrt{z_0}$ 인 원이다. $z = x^2 + y^2$ 은 $z_0\ge 0$ 의 모든 가능한 값에 대한 $z = x^2 + y^2,\ z=z_0$ 들의 합집합이므로, 수평인 원들이 수직으로 쌓인 것이다. 이 곡면과 $yz$ 평면의 교선은 포물선 $z=y^2$ 이다. 다음은 이 포물면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

이 문제로 이어서 풀기

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