빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터의 연산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음이 성립함을 직접 계산하여 확인하세요.

(a) ı^×ȷ^=k^\hat{\boldsymbol{\imath}}\times\hat{\boldsymbol{\jmath}}=\hat{\mathbf{k}}, ȷ^×k^=ı^\hat{\boldsymbol{\jmath}}\times\hat{\mathbf{k}}=\hat{\boldsymbol{\imath}}, k^×ı^=ȷ^\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\boldsymbol{\imath}}=\hat{\boldsymbol{\jmath}} (b) a⋅(a×b)=b⋅(a×b)=0\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{0}

영어 원문 보기

Verify by direct computation that

(a) ı^×ȷ^=k^\hat{\boldsymbol{\imath}}\times\hat{\boldsymbol{\jmath}}=\hat{\mathbf{k}}, ȷ^×k^=ı^\hat{\boldsymbol{\jmath}}\times\hat{\mathbf{k}}=\hat{\boldsymbol{\imath}}, k^×ı^=ȷ^\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\boldsymbol{\imath}}=\hat{\boldsymbol{\jmath}} (b) a⋅(a×b)=b⋅(a×b)=0\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{0}

정답·풀이 보기

(a)

ı^×ȷ^=det⁡[ı^ȷ^k^100010]=ı^(0×0−0×1)−ȷ^(1×0−0×0)+k^(1×1−0×0)=k^ȷ^×k^=det⁡[ı^ȷ^k^010001]=ı^(1×1−0×0)−ȷ^(0×1−0×0)+k^(0×0−1×0)=ı^k^×ı^=det⁡[ı^ȷ^k^001100]=ı^(0×0−1×0)−ȷ^(0×0−1×1)+k^(0×0−0×1)=ȷ^\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\imath}}\times\hat{\boldsymbol{\jmath}}&=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{matrix}\right] &&=\hat{\boldsymbol{\imath}}(0\times 0-0\times 1) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}(1\times 0-0\times 0) +\hat{\mathbf{k}}(1\times 1-0\times 0) \\ &=\hat{\mathbf{k}}\\[0.1in] \hat{\boldsymbol{\jmath}}\times\hat{\mathbf{k}}&=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{matrix}\right] &&=\hat{\boldsymbol{\imath}}(1\times 1-0\times 0) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}(0\times 1-0\times 0) +\hat{\mathbf{k}}(0\times 0-1\times 0)\\ &=\hat{\boldsymbol{\imath}}\\[0.1in] \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\boldsymbol{\imath}}&=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{matrix}\right] &&=\hat{\boldsymbol{\imath}}(0\times 0-1\times 0) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}(0\times 0-1\times 1) +\hat{\mathbf{k}}(0\times 0-0\times 1)\\ &=\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(b)

a⋅(a×b)=a1(a2b3−a3b2)−a2(a1b3−a3b1)+a3(a1b2−a2b1)=0b⋅(a×b)=b1(a2b3−a3b2)−b2(a1b3−a3b1)+b3(a1b2−a2b1)=0\begin{aligned} \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) &=a_1\big(a_2b_3-a_3b_2\big) -a_2\big(a_1b_3-a_3b_1\big) +a_3\big(a_1b_2-a_2b_1\big) &&=0\\ \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) &=b_1\big(a_2b_3-a_3b_2\big) -b_2\big(a_1b_3-a_3b_1\big) +b_3\big(a_1b_2-a_2b_1\big) &&=0 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a)

ı^×ȷ^=det⁡[ı^ȷ^k^100010]=ı^(0×0−0×1)−ȷ^(1×0−0×0)+k^(1×1−0×0)=k^ȷ^×k^=det⁡[ı^ȷ^k^010001]=ı^(1×1−0×0)−ȷ^(0×1−0×0)+k^(0×0−1×0)=ı^k^×ı^=det⁡[ı^ȷ^k^001100]=ı^(0×0−1×0)−ȷ^(0×0−1×1)+k^(0×0−0×1)=ȷ^\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\imath}}\times\hat{\boldsymbol{\jmath}}&=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{matrix}\right] &&=\hat{\boldsymbol{\imath}}(0\times 0-0\times 1) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}(1\times 0-0\times 0) +\hat{\mathbf{k}}(1\times 1-0\times 0) \\ &=\hat{\mathbf{k}}\\[0.1in] \hat{\boldsymbol{\jmath}}\times\hat{\mathbf{k}}&=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{matrix}\right] &&=\hat{\boldsymbol{\imath}}(1\times 1-0\times 0) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}(0\times 1-0\times 0) +\hat{\mathbf{k}}(0\times 0-1\times 0)\\ &=\hat{\boldsymbol{\imath}}\\[0.1in] \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\boldsymbol{\imath}}&=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{matrix}\right] &&=\hat{\boldsymbol{\imath}}(0\times 0-1\times 0) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}(0\times 0-1\times 1) +\hat{\mathbf{k}}(0\times 0-0\times 1)\\ &=\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(b)

a⋅(a×b)=a1(a2b3−a3b2)−a2(a1b3−a3b1)+a3(a1b2−a2b1)=0b⋅(a×b)=b1(a2b3−a3b2)−b2(a1b3−a3b1)+b3(a1b2−a2b1)=0\begin{aligned} \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) &=a_1\big(a_2b_3-a_3b_2\big) -a_2\big(a_1b_3-a_3b_1\big) +a_3\big(a_1b_2-a_2b_1\big) &&=0\\ \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) &=b_1\big(a_2b_3-a_3b_2\big) -b_2\big(a_1b_3-a_3b_1\big) +b_3\big(a_1b_2-a_2b_1\big) &&=0 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 11번우리말 번역

다음 명제를 생각하세요: "a≠0\mathbf{a}\ne\mathbf{0} 이고 a⋅b=a⋅c\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} 이면 b=c\mathbf{b}=\mathbf{c} 이다." 이 명제가 참이면 증명하세요. 거짓이면 반례를 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 명제는 거짓이다. 두 수 a⋅b\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}, a⋅c\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} 가 같을 필요충분조건은 a⋅(b−c)=0\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})= 0 이다. 이는 다시 a\mathbf{a} 가 b−c\mathbf{b}-\mathbf{c} 와 수직인 것과 필요충분조건이다(0\mathbf{0} 은 모든 벡터와 수직이라는 약속에 따른다). 예를 들어 a=<1,0,0>\mathbf{a}=\left< 1,0,0\right> , b=<0,1,0>, c=<0,0,1>\mathbf{b}=\left< 0,1,0\right> ,\ \mathbf{c}=\left< 0,0,1\right> 이면 b−c=<0,1,−1>\mathbf{b}-\mathbf{c}=\left< 0,1,-1\right> 은 a\mathbf{a} 와 수직이므로 a⋅b=a⋅c\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} 이다.

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# 벡터의 연산계산기본자동 분류

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