이차곡면과 곡면 그리기 연습문제 — CLP-3 · 1.7절 · 8번

CLP-3 · 1.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

쌍곡면 $z^2=4x^2+y^2-1$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the hyperboloid $z^2=4x^2+y^2-1$ .

정답·풀이 보기

고정된 각 $z$ 에 대해 $4x^2+y^2=1+z^2$ 은 타원이다. 따라서 이 곡면은 타원이 차곡차곡 쌓인 모양이다. 반축의 길이는 $\frac{1}{2}\sqrt{1+z^2}$ 과 $\sqrt{1+z^2}$ 이다. 이 값들은 $z=0$ 일 때 (즉 $xy$ 평면 위의 타원일 때) 가장 작고 $|z|$ 가 커짐에 따라 커진다. 곡면과 $xz$ 평면(즉 평면 $y=0$ )의 교선은 쌍곡선 $4x^2-z^2=1$ 이고, 곡면과 $yz$ 평면(즉 평면 $x=0$ )의 교선은 쌍곡선 $y^2-z^2=1$ 이다. 다음은 곡면의 두 그림이다. 왼쪽 그림은 곡면 중 제1팔분공간에 있는 부분만 (좌표축과 함께) 보여 준다.

원본 교재 풀이(영어)

For each fixed $z$ , $4x^2+y^2=1+z^2$ is an ellipse. So the surface consists of a stack of ellipses one on top of the other. The semi axes are $\frac{1}{2}\sqrt{1+z^2}$ and $\sqrt{1+z^2}$ . These are smallest when $z=0$ (i.e. for the ellipse in the $xy$ -plane) and increase as $|z|$ increases. The intersection of the surface with the $xz$ -plane (i.e. with the plane $y=0$ ) is the hyperbola $4x^2-z^2=1$ and the intersection with the $yz$ -pane (i.e. with the plane $x=0$ ) is the hyperbola $y^2-z^2=1$ . Here are two sketches of the surface. The sketch on the left only shows the part of the surface in the first octant (with axes).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 9번우리말 번역

다음 함수의 등위면을 설명하세요.

(a) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ (b) $f(x,y,z)=x+2y+3z$ (c) $f(x,y,z)=x^2+y^2$

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(a) $c>0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x^2+y^2+z^2=c$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 구이다. $c=0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 는 원점 하나뿐이다. $c<0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 를 만족시키는 $(x,y,z)$ 는 없다.

(b) $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x+2y+3z=c$ 는 $(1,2,3)$ 에 수직이고 $(c,0,0)$ 을 지나는 평면이다.

(c) $c>0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x^2+y^2=c$ 는 $z$ 축에 평행한 원기둥이고, 그 단면은 $xy$ 평면에 평행하며 $z$ 축 위에 중심이 있는 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 원이다. $c=0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 는 $z$ 축이다. $c<0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 를 만족시키는 $(x,y,z)$ 는 없다.

이 문제로 이어서 풀기

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