이차곡면과 곡면 그리기 연습문제 — CLP-3 · 1.7절 · 11번

CLP-3 · 1.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 곡면의 개형을 그리고 설명하세요.

(a) $4x^2+y^2=16$ (b) $x+y+2z=4$ (c) $\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1+\frac{x^2}{16}$ (d) $y^2=x^2+z^2$ (e) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{9}=1$ (f) $x^2+y^2+z^2+4x-by+9z-b=0$ 단, $b$ 는 상수이다. (g) $\frac{x}{4}=\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}$ (h) $z=x^2$

영어 원문 보기

Sketch and describe the following surfaces.

(a) $4x^2+y^2=16$ (b) $x+y+2z=4$ (c) $\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1+\frac{x^2}{16}$ (d) $y^2=x^2+z^2$ (e) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{9}=1$ (f) $x^2+y^2+z^2+4x-by+9z-b=0$ where $b$ is a constant. (g) $\frac{x}{4}=\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}$ (h) $z=x^2$

정답·풀이 보기

(a) 고정된 각각의 $z_0$ 에 대해, 이 곡면의 $z=z_0$ 단면( $xy$ 평면에 평행한 단면)은 원점을 중심으로 하는 타원이며, $x$ 축 방향의 반축의 길이는 2, $y$ 축 방향의 반축의 길이는 4 이다. 따라서 이것은 $z$ 축에 평행한 타원기둥이다. 다음은 $xy$ 평면 위쪽에 있는 곡면 부분의 개형이다.

(b) 이것은 세 점 $(4,0,0)$ , $(0,4,0)$ , $(0,0,2)$ 를 지나는 평면이다. 다음은 제1팔분공간에 있는 평면 부분의 개형이다.

(c) 고정된 각각의 $x_0$ 에 대해, $yz$ 평면에 평행한 $x=x_0$ 단면은 타원이며, $y$ 축에 평행한 반축의 길이는 $3\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16}}$ , $z$ 축에 평행한 반축의 길이는 $2\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16}}$ 이다. $x=0$ 에서 $x$ 축을 따라 멀어질수록 타원은 $\sqrt{1+\frac{x^2}{16}}$ 에 비례하는 비율로 커지며, 이는 $x$ 가 클 때 대략 $\frac{|x|}{4}$ 이다. 이것을 일엽쌍곡면이라 한다. 이 곡면의

(d) 고정된 각각의 $y_0$ 에 대해, $y=x_0$ 단면( $xz$ 평면에 평행한 단면)은 $y$ 축을 중심으로 하고 반지름이 $|y|$ 인 원이다. $y_0=0$ 일 때 반지름은 $0$ 이다. $xz$ 평면에서 어느 방향으로든 더 멀어질수록, 즉 $|y_0|$ 가 커질수록 반지름은 선형적으로(일정한 비율로) 커진다. 곡면 전체는 이러한 원들을 옆으로 쌓아 놓은 것이다. 이것은 $y$ 축을 중심축으로 하는 원뿔이다.

(e) 이것은 원점을 중심으로 하는 타원면이며, $x$ 축, $y$ 축, $z$ 축 방향의 반축의 길이는 각각 $3$ , $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ , $3$ 이다.

(f) 세 번 완전제곱식으로 고치면, $x^2+y^2+z^2+4x-by+9z-b=0$ 일 필요충분조건은 $(x+2)^2+\big(y-\frac{b}{2}\big)^2+\big(z+\frac{9}{2}\big)^2 =b+4+\frac{b^2}{4}+\frac{81}{4}$ 이다. 이것은 반지름이 $r_b=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+4b+97}$ 이고 중심이 $\frac{1}{2}(-4,b,-9)$ 인 구이다.

(g) 곡면 위에는 $x<0$ 인 점이 없다. 고정된 각각의 $x_0>0$ 에 대해, $yz$ 평면에 평행한 단면 $x=x_0$ 는 $x$ 축을 중심으로 하는 타원이며, $y$ 축 방향의 반축의 길이는 $\sqrt{x_0}$ , $z$ 축 방향의 반축의 길이는 $\frac{3}{2}\sqrt{x_0}$ 이다. $x_0$ 가 커질수록, 즉 $x$ 축을 따라 멀어질수록 타원은 $\sqrt{x_0}$ 에 비례하는 비율로 커진다. 이것은 $x$ 축을 축으로 하는 타원포물면이다.

(h) 이것을 포물기둥이라 한다. 고정된 임의의 $y_0$ 에 대해, $y=y_0$ 단면( $xz$ 평면에 평행한 단면)은 위로 열린 포물선 $z=x^2$ 이며, 이 포물선의 꼭짓점은 $y$ 축 위에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For each fixed $z_0$ , the $z=z_0$ cross-section (parallel to the $xy$ -plane) of this surface is an ellipse centered on the origin with one semiaxis of length 2 along the $x$ -axis and one semiaxis of length 4 along the $y$ -axis. So this is an elliptic cylinder parallel to the $z$ -axis. Here is a sketch of the part of the surface above the $xy$ –plane.

(b) This is a plane through $(4,0,0)$ , $(0,4,0)$ and $(0,0,2)$ . Here is a sketch of the part of the plane in the first octant.

(c) For each fixed $x_0$ , the $x=x_0$ cross-section parallel to the $yz$ -plane is an ellipse with semiaxes $3\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16}}$ parallel to the $y$ -axis and $2\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16}}$ parallel to the $z$ -axis. As you move out along the $x$ -axis, away from $x=0$ , the ellipses grow at a rate proportional to $\sqrt{1+\frac{x^2}{16}}$ , which for large $x$ is approximately $\frac{|x|}{4}$ . This is called a hyperboloid of one sheet. Its

(d) For each fixed $y_0$ , the $y=x_0$ cross-section (parallel to the $xz$ -plane) is a circle of radius $|y|$ centred on the $y$ -axis. When $y_0=0$ the radius is $0$ . As you move further from the $xz$ -plane, in either direction, i.e. as $|y_0|$ increases, the radius grows linearly. The full surface consists of a bunch of these circles stacked sideways. This is a circular cone centred on the $y$ -axis.

(e) This is an ellipsoid centered on the origin with semiaxes $3$ , $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ and $3$ along the $x$ , $y$ and $z$ -axes, respectively.

(f) Completing three squares, we have that $x^2+y^2+z^2+4x-by+9z-b=0$ if and only if $(x+2)^2+\big(y-\frac{b}{2}\big)^2+\big(z+\frac{9}{2}\big)^2 =b+4+\frac{b^2}{4}+\frac{81}{4}$ . This is a sphere of radius $r_b=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+4b+97}$ centered on $\frac{1}{2}(-4,b,-9)$ .

(g) There are no points on the surface with $x<0$ . For each fixed $x_0>0$ the cross-section $x=x_0$ parallel to the $yz$ -plane is an ellipse centred on the $x$ –axis with semiaxes $\sqrt{x_0}$ in the $y$ -axis direction and $\frac{3}{2}\sqrt{x_0}$ in the $z$ –axis direction. As you increase $x_0$ , i.e. move out along the $x$ -axis, the ellipses grow at a rate proportional to $\sqrt{x_0}$ . This is an elliptic paraboloid with axis the $x$ -axis.

(h) This is called a parabolic cylinder. For any fixed $y_0$ , the $y=y_0$ cross-section (parallel to the $xz$ -plane) is the upward opening parabola $z=x^2$ which has vertex on the $y$ -axis.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 10번우리말 번역

다음 함수의 그래프를 그리세요.

(a) $f(x,y)=\sin x\qquad 0\le x\le 2\pi,\ 0\le y\le 1$ (b) $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ (c) $f(x,y)=|x|+|y|$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 그래프는 $(x,y)$ 가 $0\le x\le 2\pi$ , $0\le y\le 1$ 의 범위를 움직일 때의 $z=\sin x$ 이다. $0$ 과 $1$ 사이의 고정된 각 $y_0$ 에 대해, 이 그래프와 수직 평면 $y=y_0$ 의 교선은 $x$ 가 $0$ 부터 $2\pi$ 까지 변하는 같은 사인 그래프 $z=\sin x$ 이다. 따라서 전체 그래프는 2차원 사인 그래프를 나란히 쌓아 놓은 것과 같다. 이것이 아래 왼쪽의 그래프이다.

(b) 그래프는 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 이다. 고정된 각 $z_0\ge 0$ 에 대해, 이 그래프와 수평 평면 $z=z_0$ 의 교선은 원 $\sqrt{x^2+y^2}=z_0$ 이다. 이 원은 $z$ 축 위에 중심이 있고 반지름이 $z_0$ 이다. 따라서 그래프는 원뿔의 위쪽 절반이다. 이것이 위 오른쪽의 그림이다.

(c) 그래프는 $z=|x|+|y|$ 이다. 고정된 각 $z_0\ge 0$ 에 대해, 이 그래프와 수평 평면 $z=z_0$ 의 교선은 정사각형 $|x|+|y|=z_0$ 이다. $x,y\ge 0$ 인 정사각형의 변은 직선 $x+y=z_0$ 이다. $x\ge 0$ 이고 $y\le 0$ 인 정사각형의 변은 직선 $x-y=z_0$ 이며, 나머지 변도 같은 방식이다. 정사각형의 네 꼭짓점은 $(\pm z_0,0,z_0)$ 와 $(0, \pm z_0,z_0)$ 이다. 따라서 그래프는 정사각형을 쌓아 놓은 것이다. 이것은 거꾸로 세워진 사각뿔이다. 이 사각뿔 중 제1팔분공간(즉, $x,y,z\ge 0$ )에 있는 부분이 아래의 그림이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석보통자동 분류