다변수함수의 극한과 연속 연습문제 — CLP-3 · 2.1절 · 7번

CLP-3 · 2.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

(a) 극한을 구하세요: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}$ . (b) 다음 극한이 존재하지 않음을 증명하세요: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ .

영어 원문 보기

(a) Find the limit: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}$ . (b) Prove that the following limit does not exist: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ .

정답·풀이 보기

(a) 극좌표에서 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 이므로

$\begin{aligned} \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4} &=\frac{r^8\cos^8\theta+r^8\sin^8\theta}{r^4\cos^4\theta+r^4\sin^4\theta} =r^4\frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \end{aligned}$

이때

$\begin{aligned} \frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} &\le \frac{\cos^8\theta+2\cos^4\theta\sin^4\theta+\sin^8\theta} {\cos^4\theta+\sin^4\theta} =\frac{\big(\cos^4\theta+\sin^4\theta\big)^2}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \\ &=\cos^4\theta+\sin^4\theta \le 2 \end{aligned}$

이므로

$0\le \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}\le 2r^4$

이다. $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}2r^4=0$ 이므로 조임 정리에 의해 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}=0$ 이다.

(b) 극좌표에서

$\begin{aligned} \frac{xy^5}{x^8+y^{10}} &=\frac{r^6\cos\theta\,\sin^5\theta}{r^8\cos^8\theta+r^{10}\sin^{10}\theta} =\frac{1}{r^2}\frac{\cos\theta\,\sin^5\theta}{\cos^8\theta+r^2\sin^{10}\theta} \end{aligned}$

이다. $(x,y)\to (0,0)$ 일 때 첫째 분수 $\frac{1}{r^2}\to\infty$ 이지만, 둘째 인수는 여러 가지 다른 값을 가질 수 있다. 예를 들어 $(x,y)$ 를 $y$ 축을 따라, 즉 $\theta=\pm\frac{\pi}{2}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{x=0}}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{y\to 0} \frac{0}{y^{10}}=0 \end{aligned}$

이다. 그러나 $(x,y)$ 를 직선 $y=x$ 를 따라, 즉 $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =+\infty \end{aligned}$

이고, $(x,y)$ 를 직선 $y=-x$ 를 따라, 즉 $\theta=-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=-x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{-x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0}- \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =-\infty \end{aligned}$

이다. 따라서 $(x,y)\to(0,0)$ 일 때 $\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ 은 하나의 값에 가까워지지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In polar coordinates, $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ , so that

$\begin{aligned} \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4} &=\frac{r^8\cos^8\theta+r^8\sin^8\theta}{r^4\cos^4\theta+r^4\sin^4\theta} =r^4\frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \end{aligned}$

we have

$0\le \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}\le 2r^4$

As $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}2r^4=0$ , the squeeze theorem yields $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}=0$ .

(b) In polar coordinates

As $(x,y)\to (0,0)$ the first fraction $\frac{1}{r^2}\to\infty$ but the second factor can take many different values. For example, if we send $(x,y)$ towards the origin along the $y$ –axis, i.e. with $\theta=\pm\frac{\pi}{2}$ ,

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{x=0}}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{y\to 0} \frac{0}{y^{10}}=0 \end{aligned}$

but if we send $(x,y)$ towards the origin along the line $y=x$ , i.e. with $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ ,

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =+\infty \end{aligned}$

and if we send $(x,y)$ towards the origin along the line $y=-x$ , i.e. with $\theta=-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$ ,

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=-x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{-x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0}- \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =-\infty \end{aligned}$

So $\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ does not approach a single value as $(x,y)\to(0,0)$ and the limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.1절 · 6번우리말 번역

가능하다면 다음 극한값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2}$ (e) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}$ (f) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy}$

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)=2(-1)+2^2=2$

(b) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r\cos\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} \end{aligned}$

이 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

$\theta=0$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{1}{r} =+\infty$

반면 $\theta=\pi$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{-1}{r} =-\infty$

이기 때문이다.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \cos^2\theta \end{aligned}$

이 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

$\theta=0$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 1 = 1$

반면 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi/2}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 0 =0$

이기 때문이다.

(d) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r\cos^3\theta =0 \end{aligned}$

모든 $\theta$ 에 대해 $|\cos\theta|\le 1$ 이기 때문이다.

(e) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta\ r^2\sin^2\theta} {r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r^2\sin^2\theta \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \\ &= 0 \end{aligned}$

여기서 모든 $r>0$ 에 대해 다음이 성립함을 이용하였다.

$\left|\sin^2\theta\frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}\right| \le \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \le \left.\begin{cases} \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta}&\text{(}\cos\theta\ne 0\text{ 일 때)}\\ 0 &\text{(}\cos\theta =0\text{ 일 때)}\end{cases} \right\} \le 1$

(f) 먼저 다음을 관찰하자.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] \end{aligned}$

$\displaystyle \left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right]$ 은 로피탈 법칙 또는 미분계수의 정의를 이용하여 구할 수 있으며, 다음과 같다.

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x-\sin 0}{x-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x\bigg|_{x=0} =\cos x\Big|_{x=0}=1$

마찬가지로 $\displaystyle \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right]$ 도 로피탈 법칙 또는 미분계수의 정의를 이용하여 구할 수 있으며, 다음과 같다.

$\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y} =\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-e^0}{y-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}e^y\bigg|_{y=0} =e^y\Big|_{y=0}=1$

따라서 모두 합하면

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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