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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수함수의 극한과 연속

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 각 극한의 값을 구하거나, 극한이 존재하지 않음을 보이세요.

(a) lim⁡(x,y)→(0,0)2x2+x2y−y2x+2y2x2+y2\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2} (b) lim⁡(x,y)→(0,1)x2y2−2x2y+x2(x2+y2−2y+1)2\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2}

영어 원문 보기

Evaluate each of the following limits or show that it does not exist.

(a) lim⁡(x,y)→(0,0)2x2+x2y−y2x+2y2x2+y2\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2} (b) lim⁡(x,y)→(0,1)x2y2−2x2y+x2(x2+y2−2y+1)2\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2}

정답·풀이 보기

(a) 극좌표 x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta 에서

2x2+x2y−y2x+2y2x2+y2=2r2cos⁡2θ+r3cos⁡2θsin⁡θ−r3cos⁡θsin⁡2θ+2r2sin⁡2θr2=2+r[cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡2θcos⁡θ]\begin{aligned} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2} &=\frac{2r^2\cos^2\theta + r^3\cos^2\theta\sin\theta - r^3\cos\theta\sin^2\theta + 2r^2\sin^2\theta}{r^2} \\ &=2+ r\big[\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big] \end{aligned}

이고

r∣cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡2θcos⁡θ∣≤2r→0 이때 r→0r\big|\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big| \le 2r \rightarrow 0\text{ 이때 }r\rightarrow 0

이므로

lim⁡(x,y)→(0,0)2x2+x2y−y2x+2y2x2+y2=2\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}=2

이다.

(b) x2y2−2x2y+x2(x2+y2−2y+1)2=x2(y−1)2[x2+(y−1)2]2\begin{aligned} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2} =\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} \end{aligned}

이고, (0,1)(0,1) 을 중심으로 하는 극좌표 x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=1+rsin⁡θy=1+r\sin\theta 에서

x2(y−1)2[x2+(y−1)2]2=r4cos⁡2θsin⁡2θr4=cos⁡2θsin⁡2θ\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} =\frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^4} =\cos^2\theta\sin^2\theta

이므로 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어 (x,y)(x,y) 를 직선 y=1y=1 을 따라 (0,1)(0,1) 로 보내면 θ=0\theta=0 이므로 극한은 00 이고, (x,y)(x,y) 를 직선 y=x+1y=x+1 을 따라 (0,1)(0,1) 로 보내면 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4} 이므로 극한은 14\frac{1}{4} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In polar coordinates x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta

2x2+x2y−y2x+2y2x2+y2=2r2cos⁡2θ+r3cos⁡2θsin⁡θ−r3cos⁡θsin⁡2θ+2r2sin⁡2θr2=2+r[cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡2θcos⁡θ]\begin{aligned} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2} &=\frac{2r^2\cos^2\theta + r^3\cos^2\theta\sin\theta - r^3\cos\theta\sin^2\theta + 2r^2\sin^2\theta}{r^2} \\ &=2+ r\big[\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big] \end{aligned}

As

r∣cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡2θcos⁡θ∣≤2r→0 as r→0r\big|\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big| \le 2r \rightarrow 0\text{ as }r\rightarrow 0

we have

lim⁡(x,y)→(0,0)2x2+x2y−y2x+2y2x2+y2=2\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}=2

(b) Since

x2y2−2x2y+x2(x2+y2−2y+1)2=x2(y−1)2[x2+(y−1)2]2\begin{aligned} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2} =\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} \end{aligned}

and, in polar coordinates centred on (0,1)(0,1), x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=1+rsin⁡θy=1+r\sin\theta,

x2(y−1)2[x2+(y−1)2]2=r4cos⁡2θsin⁡2θr4=cos⁡2θsin⁡2θ\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} =\frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^4} =\cos^2\theta\sin^2\theta

we have that the limit does not exist. For example, if we send (x,y)(x,y) to (0,1)(0,1) along the line y=1y=1, so that θ=0\theta=0, we get the limit 00, while if we send (x,y)(x,y) to (0,1)(0,1) along the line y=x+1y=x+1, so that θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, we get the limit 14\frac{1}{4}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.1절 · 8번우리말 번역

다음 각 극한의 값을 구하거나 극한이 존재하지 않음을 보이세요.

(a) lim⁡(x,y)→(0,0)x3−y3x2+y2\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} (b) lim⁡(x,y)→(0,0)x2−y4x2+y4\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}

다 풀었으면 정답 확인

(a) 극좌표로 나타내면

x3−y3x2+y2=r3cos⁡3θ−r3sin⁡3θr2=rcos⁡3θ−rsin⁡3θ\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=\frac{r^3\cos^3\theta-r^3\sin^3\theta}{r^2} =r\cos^3\theta-r\sin^3\theta

이다.

∣rcos⁡3θ−rsin⁡3θ∣≤2r\big|r\cos^3\theta-r\sin^3\theta\big|\le 2r

이고 r→0r\rightarrow 0 일 때 2r→02r\rightarrow 0 이므로, 극한이 존재하고 그 값은 00 이다.

(b) xx축을 따라 (0,0)(0,0) 에 접근할 때의 극한은

lim⁡t→0x2−y4x2+y4∣(x,y)=(t,0)=lim⁡t→0t2−04t2+04=1\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}\bigg|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2-0^4}{t^2+0^4} =1 \end{aligned}

이다. 한편 yy축을 따라 (0,0)(0,0) 에 접근할 때의 극한은

lim⁡t→0x2−y4x2+y4∣(x,y)=(0,t)=lim⁡t→002−t402+t4=−1\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}\bigg|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0^2-t^4}{0^2+t^4} =-1 \end{aligned}

이다. 두 값이 서로 다르므로 (x,y)→0(x,y)\rightarrow 0 일 때의 극한은 존재하지 않는다.

극좌표로 바꾸면 원점 근처에서 x2−y4x2+y4\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4} 의 거동을 더 자세히 이해할 수 있다.

x2−y4x2+y4=r2cos⁡2θ−r4sin⁡4θr2cos⁡2θ+r4sin⁡4θ=cos⁡2θ−r2sin⁡4θcos⁡2θ+r2sin⁡4θ\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4} =\frac{r^2\cos^2\theta-r^4\sin^4\theta}{r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}

이제 θ\theta 를 임의로 고정하고 r→0r\rightarrow 0 이라 하자(즉 양의 xx축과 이루는 각이 θ\theta 인 반직선을 따라 원점에 접근한다). cos⁡θ≠0\cos\theta\ne 0 이면(즉 그 반직선이 yy축의 일부가 아니면)

lim⁡r→0cos⁡2θ−r2sin⁡4θcos⁡2θ+r2sin⁡4θ=cos⁡2θcos⁡2θ=1\begin{aligned} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} =\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} =1 \end{aligned}

이다. 그러나 cos⁡θ=0\cos\theta= 0 이면(즉 그 반직선이 yy축의 일부이면)

lim⁡r→0cos⁡2θ−r2sin⁡4θcos⁡2θ+r2sin⁡4θ=lim⁡r→0−r2sin⁡4θr2sin⁡4θ=−sin⁡4θsin⁡4θ=−1\begin{aligned} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} =\lim_{r\rightarrow 0} \frac{-r^2\sin^4\theta}{r^2\sin^4\theta} =\frac{-\sin^4\theta}{\sin^4\theta} =-1 \end{aligned}

이다.

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