편도함수

정의에 의해

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{(\Delta x+2\times 0)^2}{\Delta x+0}-0}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta x} \\ &=1 \end{aligned}$$

이고

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{\frac{(0+2\Delta y)^2}{0+\Delta y}-0}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{4\Delta y}{\Delta y} \\ &=4 \end{aligned}$$

이다.

(b) $f(x,y)$ 는 $(0,0)$ 에서 두 편도함수가 모두 존재하지만 연속이 아니다. 이를 확인하기 위해 좌표를 $(x,y)$ 에서 $(X,y)$ 로 바꾸되 $X=x+y$ (분모)로 둔다. 물론 $(x,y)\rightarrow (0,0)$ 인 것과 $(X,y)\rightarrow (0,0)$ 인 것은 동치이다. 이제 $X$ 가 $y$ 보다 훨씬 작은 상태로 $(X,y)\rightarrow(0,0)$ 일 때 어떻게 되는지 보자. 예를 들어 $X=ay^2$ 이면

$$\begin{aligned} \frac{(x+2y)^2}{x+y}=\frac{(X+y)^2}{X}=\frac{(ay^2+y)^2}{ay^2} =\frac{(1+ay)^2}{a}\rightarrow\frac{1}{a} \end{aligned}$$

이다. 이 값은 $a$ 에 따라 달라진다. 따라서 서로 다른 경로를 따라 $(0,0)$ 에 접근하면 극한이 서로 다르다. (좌표를 바꾸지 않고도 $x=-y+ay^2$ 으로 놓고 $(x,y)\rightarrow (0,0)$ 으로 보내면 같은 현상을 볼 수 있다.) 더 극단적으로, $X=y^3$ 으로 놓고 $(X,y)\rightarrow(0,0)$ 일 때를 보면

$$\frac{(x+2y)^2}{x+y}=\frac{(X+y)^2}{X}=\frac{(y^3+y)^2}{y^3} =\frac{{(1+y^2)}^2}{y}\rightarrow\pm\infty$$

이다.