편도함수 연습문제 — CLP-3 · 2.2절 · 9번

CLP-3 · 2.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

미분계수의 정의를 이용하여 다음 함수에 대해 $f_x(0,0)$ 과 $f_y(0,0)$ 의 값을 구하세요.

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2-2y^2}{x-y}&\text{$x\ne y$ 이면}\\ 0&\text{$x=y$ 이면} \end{cases}$

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to evaluate $f_x(0,0)$ and $f_y(0,0)$ for

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2-2y^2}{x-y}&\text{if $x\ne y$}\\ 0&\text{if $x=y$} \end{cases}$

정답·풀이 보기

정의에 의해

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \qquad f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

이다. $x_0=y_0=0$ 을 대입하면

$\begin{aligned} f_x(0,0)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((\Delta x)^2-2\times0^2)/(\Delta x-0)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1 =1\\ f_y(0,0)&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{(0^2-2(\Delta y)^2)/(0-\Delta y)}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}2 =2 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \qquad f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

Setting $x_0=y_0=0$ ,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.2절 · 2번우리말 번역

당신은 기복이 있는 지형을 가로지르고 있습니다. $z$ 축은 하늘을 향해 곧장 위쪽, 양의 $x$ 축은 정남쪽, 양의 $y$ 축은 정동쪽이라고 합시다. 그러면 당신 주변의 지형은 방정식 $z=f(x,y)$ 로 나타나고, 당신은 점 $(0,0,f(0,0))$ 에 있습니다. 함수 $f(x,y)$ 는 미분가능합니다.

$f_y(0,0)<0$ 이라고 합시다. 당신이 정상에 있을 수 있습니까? 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f_y(0,0)<0$ 이면 $y$ 가 $0$ 에서 증가할 때 $f(0,y)$ 는 감소한다. 따라서 $y$ 가 양인 방향으로 이동하면 내리막길이 된다. 이는 계곡의 가장 낮은 지점에 있지 않다는 뜻이다. 아직 내려갈 수 있기 때문이다. 한편 $f_y(0,0)<0$ 이므로, $y$ 가 조금 작은 음수 값에서 $0$ 을 향해 증가할 때에도 $f(0,y)$ 는 감소한다. 따라서 $y=0$ 에서 음의 $y$ 방향으로 이동하면 높이 $z$ 는 증가한다. 그러므로 당신은 국소적으로 가장 높은 지점에 있지 않다. 즉 정상에 있지 않다.

이 문제로 이어서 풀기

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