편도함수

풀이 1

먼저 이 곡면의 방정식을 구하자. 모든 등위곡선은 반지름이 1인 수평 방향의 원이므로, 방정식은 다음 꼴이어야 한다.

$$(x-f_1)^2+(y-f_2)^2=1$$

여기서 $f_1$ 과 $f_2$ 는 $z$ 에만 의존하는 함수이다. 높이 $z$ 에서 원의 중심이 $x=0$, $y=z$ 에 있으므로, 이 곡면의 방정식은 다음과 같다.

$$x^2+(y-z)^2=1$$

점 $(x,y)$ 에서 곡면의 높이는 이 방정식을 풀어 얻은 $z(x,y)$ 이다. 즉,

$$x^2+\big(y-z(x,y)\big)^2=1 \tag{$*$}$$

원하는 점 $(x,y)= (0,-1)$ 에서 $z_x(x,y)$ 와 $z_y(x,y)$ 를 구하기 위해 이 등식을 음함수 미분한다. 먼저 $(*)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} 0+2\big(y-z(x,y)\big)\big(1- z_y(x,y)\big)&=0 \\ 2(-1-0)\big(1-z_y(0,-1)\big)&=0& & \text{ 에서 } (0,-1,0) \end{aligned}$$

이므로 $y$ 축의 양의 방향을 바라볼 때의 기울기는 $z_y(0,-1)=1$ 이다. 마찬가지로 $(*)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} 2x+2\big(y-z(x,y)\big)\cdot\big(0-z_x(x,y)\big)&=0 \\ 2x&=2\big(y-z(x,y)\big)\cdot z_x(x,y)\\ z_x(x,y)&=\frac{x}{y-z(x,y)}\\ z_x(0,-1)&=0 &\text{ 에서 } (0,-1,0) \end{aligned}$$

$x$ 축의 양의 방향을 바라볼 때의 기울기는 $z_x(0,-1)=0$ 이다.

풀이 2

$(0,-1,0)$ 에 서서 $y$ 축의 양의 방향을 바라보면, 곡면은 다음 조건을 만족하는 직선을 따른다.

• 점 $(0,-1,0)$ 을 지난다.
• 원기둥의 중심선 $z=y, x=0$ 에 평행하다.

중심선을 $y$ 방향으로 1만큼 옮기면 직선 $z=y+1$, $x=0$ 을 얻는다. (확인해 보면 $(0,-1,0)$ 은 실제로 $z=y+1$, $x=0$ 위에 있다.) 이 직선의 기울기는 1이다.

$(0,-1,0)$ 에 서서 $x$ 축의 양의 방향을 바라보면, 곡면은 원 $x^2+y^2=1$, $z=0$ 을 따른다. 이 원은 원기둥과 $xy$ 평면의 교선이다. 이 원을 따라 움직이는 동안 $z$ 좌표는 $0$ 으로 고정된다. 따라서 이 방향의 기울기는 0이다.