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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

편도함수

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CLP-3 · 2.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

f(x,y)=x2+5y2f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2} 의 모든 이계편도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find all second partial derivatives of f(x,y)=x2+5y2f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}.

정답·풀이 보기

f(x,y)=x2+5y2f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2} 이라 하자. 그러면

fx=xx2+5y2fxx=1x2+5y2−12(x)(2x)(x2+5y2)3/2fxy=−12(x)(10y)(x2+5y2)3/2fy=5yx2+5y2fyy=5x2+5y2−12(5y)(10y)(x2+5y2)3/2fyx=−12(5y)(2x)(x2+5y2)3/2\begin{aligned} f_x&=\frac{x}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{xx}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(x)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} & f_{xy}&=-\frac{1}{2}\frac{(x)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \\ f_y&=\frac{5y}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{yy}&=\frac{5}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(5y)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}}& f_{yx}&=-\frac{1}{2}\frac{(5y)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \end{aligned}

간단히 하면, 특히 1x2+5y2=x2+5y2(x2+5y2)3/2\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}} =\frac{x^2+5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}} 임을 이용하면,

fxx=5y2(x2+5y2)3/2fxy=fyx=−5xy(x2+5y2)3/2fyy=5x2(x2+5y2)3/2f_{xx}=\frac{5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{5xy}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{yy}=\frac{5x^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}

원본 교재 풀이(영어)

Let f(x,y)=x2+5y2f(x,y)=\sqrt{x^2+5y^2}. Then

fx=xx2+5y2fxx=1x2+5y2−12(x)(2x)(x2+5y2)3/2fxy=−12(x)(10y)(x2+5y2)3/2fy=5yx2+5y2fyy=5x2+5y2−12(5y)(10y)(x2+5y2)3/2fyx=−12(5y)(2x)(x2+5y2)3/2\begin{aligned} f_x&=\frac{x}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{xx}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(x)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} & f_{xy}&=-\frac{1}{2}\frac{(x)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \\ f_y&=\frac{5y}{\sqrt{x^2+5y^2}} & f_{yy}&=\frac{5}{\sqrt{x^2+5y^2}}-\frac{1}{2}\frac{(5y)(10y)}{(x^2+5y^2)^{3/2}}& f_{yx}&=-\frac{1}{2}\frac{(5y)(2x)}{(x^2+5y^2)^{3/2}} \end{aligned}

Simplifying, and in particular using that 1x2+5y2=x2+5y2(x2+5y2)3/2\frac{1}{\sqrt{x^2+5y^2}} =\frac{x^2+5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}},

fxx=5y2(x2+5y2)3/2fxy=fyx=−5xy(x2+5y2)3/2fyy=5x2(x2+5y2)3/2f_{xx}=\frac{5y^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{5xy}{(x^2+5y^2)^{3/2}}\qquad f_{yy}=\frac{5x^2}{(x^2+5y^2)^{3/2}}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.3절 · 3번우리말 번역

주어진 편도함수를 구하세요.

(a) f(x,y)=x2y3f(x,y) = x^2y^3; fxx(x,y)f_{xx}(x,y), fxyy(x,y)f_{xyy}(x,y), fyxy(x,y)f_{yxy}(x,y) (b) f(x,y)=exy2f(x,y) = e^{xy^2}; fxx(x,y)f_{xx}(x,y), fxy(x,y)f_{xy}(x,y), fxxy(x,y)f_{xxy}(x,y), fxyy(x,y)f_{xyy}(x,y) (c) f(u,v,w)=1u+2v+3w \displaystyle f(u,v,w) = \frac{1}{u+2v+3w}\ , ∂3f∂u∂v∂w(u,v,w) \displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial u\partial v\partial w}(u,v,w)\ , ∂3f∂u∂v∂w(3,2,1)\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial u\partial v\partial w}(3,2,1)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 다음과 같다.

fx(x,y)=2xy3fxx(x,y)=2y3fxy(x,y)=6xy2fyxy(x,y)=fxyy(x,y)=12xy\begin{aligned} f_x(x,y) &= 2xy^3 & f_{xx}(x,y) &= 2y^3 \\ & & f_{xy}(x,y) &= 6xy^2 & f_{yxy}(x,y) = f_{xyy}(x,y) &= 12xy \end{aligned}

(b) 다음과 같다.

fx(x,y)=y2exy2fxx(x,y)=y4exy2fxxy(x,y)=4y3exy2+2xy5exy2fxy(x,y)=2yexy2+2xy3exy2fxyy(x,y)=(2+4xy2+6xy2+4x2y4)exy2=(2+10xy2+4x2y4)exy2\begin{aligned} f_x(x,y) &= y^2e^{xy^2} & f_{xx}(x,y) &= y^4e^{xy^2} & f_{xxy}(x,y) &= 4y^3e^{xy^2} + 2xy^5e^{xy^2} \\ & & f_{xy}(x,y) &= 2ye^{xy^2}+2xy^3e^{xy^2} & f_{xyy}(x,y) &= \big(2+4xy^2+6xy^2+4x^2y^4\big)e^{xy^2}\\ & & & & &= \big(2+10xy^2+4x^2y^4\big)e^{xy^2} \end{aligned}

(c) 다음과 같다.

∂f∂u(u,v,w)=−1(u+2v+3w)2∂2f∂u ∂v(u,v,w)=4(u+2v+3w)3∂3f∂u ∂v ∂w(u,v,w)=−36(u+2v+3w)4\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial u}(u,v,w) &= -\frac{1}{(u+2v+3w)^2} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial u\,\partial v}(u,v,w) &= \frac{4}{(u+2v+3w)^3} \\ \frac{\partial^3 f}{\partial u\,\partial v\,\partial w}(u,v,w) &= -\frac{36}{(u+2v+3w)^4} \end{aligned}

특히

∂3f∂u ∂v ∂w(3,2,1)=−36(3+2×2+3×1)4=−36104=−92500\begin{aligned} \frac{\partial^3 f}{\partial u\,\partial v\,\partial w}(3,2,1) &= -\frac{36}{(3+2\times 2+3\times 1)^4} = -\frac{36}{10^4} = -\frac{9}{2500} \end{aligned}

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