편도함수 연습문제 — CLP-3 · 2.3절 · 6번

CLP-3 · 2.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

$m$ 이 양의 정수일 때, $f(r,\theta)=r^m\cos m\theta$ 를 $r$ 과 $\theta$ 의 함수라 하자.

(a) 이계편도함수 $f_{rr}$ , $f_{r\theta}$ , $f_{\theta\theta}$ 를 구하고, $(r,\theta)=(1,0)$ 에서 각각의 값을 구하세요. (b) $f(r,\theta)$ 가 미분방정식

$f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}=0$

을 만족하도록 실수 $\lambda$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(r,\theta)=r^m\cos m\theta$ be a function of $r$ and $\theta$ , where $m$ is a positive integer.

(a) Find the second order partial derivatives $f_{rr}$ , $f_{r\theta}$ , $f_{\theta\theta}$ and evaluate their respective values at $(r,\theta)=(1,0)$ . (b) Determine the value of the real number $\lambda$ so that $f(r,\theta)$ satisfies the differential equation

$f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}=0$

정답·풀이 보기

(a) 일계편도함수는 다음과 같다.

$f_r(r,\theta)=mr^{m-1}\cos m\theta\qquad f_\theta(r,\theta)=-mr^m\sin m\theta$

이계편도함수는 다음과 같다.

$f_{rr}(r,\theta)=m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta\quad f_{r\theta}(r,\theta)=-m^2r^{m-1}\sin m\theta\quad f_{\theta\theta}(r,\theta)=-m^2r^m\cos m\theta$

따라서

$f_{rr}(1,0)=m(m-1),\ f_{r\theta}(1,0)=0,\ f_{\theta\theta}(1,0)=-m^2$

(b) (a)에 의해 식

$f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta} =m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta+\lambda mr^{m-2}\cos m\theta-m^2r^{m-2}\cos m\theta$

이 모든 $r$ 와 $\theta$ 에 대해 0이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

$m(m-1)+\lambda m-m^2=0\iff m(\lambda -1)=0\iff \lambda =1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The first order derivatives are

$f_r(r,\theta)=mr^{m-1}\cos m\theta\qquad f_\theta(r,\theta)=-mr^m\sin m\theta$

The second order derivatives are

$f_{rr}(r,\theta)=m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta\quad f_{r\theta}(r,\theta)=-m^2r^{m-1}\sin m\theta\quad f_{\theta\theta}(r,\theta)=-m^2r^m\cos m\theta$

so that

$f_{rr}(1,0)=m(m-1),\ f_{r\theta}(1,0)=0,\ f_{\theta\theta}(1,0)=-m^2$

(b) By part (a), the expression

$f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta} =m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta+\lambda mr^{m-2}\cos m\theta-m^2r^{m-2}\cos m\theta$

vanishes for all $r$ and $\theta$ if and only if

$m(m-1)+\lambda m-m^2=0\iff m(\lambda -1)=0\iff \lambda =1$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.3절 · 5번우리말 번역

주어진 편도함수를 구하세요.

(a) $f(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xy}}\big)$ ; $f_{xyz}(x,y,z)$ (b) $f(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xy}}\big) +\arctan\big(e^{\sqrt{xz}}\big) +\arctan\big(e^{\sqrt{yz}}\big)$ ; $f_{xyz}(x,y,z)$ (c) $f(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xyz}}\big)$ ; $f_{xx}(1,0,0)$

다 풀었으면 정답 확인

(a) $f(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xy}}\big)$ 는 $z$ 에 무관하므로 $f_z(x,y,z) = 0$ 이고, 따라서

$f_{xyz}(x,y,z) =f_{zxy}(x,y,z) =0$

이다.

(b) $u(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xy}}\big)$ , $v(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xz}}\big)$ , $w(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{yz}}\big)$ 라 하자. 그러면

$u(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xy}}\big)$ 는 $z$ 에 무관하므로 $u_z(x,y,z) = 0$ 이고, 따라서 $u_{xyz}(x,y,z) =u_{zxy}(x,y,z) =0$
$v(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{xz}}\big)$ 는 $y$ 에 무관하므로 $v_y(x,y,z) = 0$ 이고, 따라서 $v_{xyz}(x,y,z) =v_{yxz}(x,y,z) =0$
$w(x,y,z) = \arctan\big(e^{\sqrt{yz}}\big)$ 는 $x$ 에 무관하므로 $w_x(x,y,z) = 0$ 이고, 따라서 $w_{xyz}(x,y,z) =0$

$f(x,y,z)=u(x,y,z)+v(x,y,z)+w(x,y,z)$ 이므로

$f_{xyz}(x,y,z)=u_{xyz}(x,y,z)+v_{xyz}(x,y,z)+w_{xyz}(x,y,z)=0$

이다.

$g(x) = f(x,0,0) = \arctan\big(e^{\sqrt{xyz}}\big)\Big|_{y=z=0} =\arctan(1) =\frac{\pi}{4}$

이고 이는 모든 $x$ 에 대해 성립한다. 그러므로 모든 $x$ 에 대해 $g'(x)=0$ 이고 $g''(x)=0$ 이다. 특히

$f_{xx}(1,0,0) = g''(1) = 0$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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