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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수 연쇄법칙

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

z=f(x,y)z = f(x,y) 이고 x=2s+tx = 2s + t, y=s−ty = s - t 라 하자. 다음 등식이 성립하도록 하는 상수 aa, bb, cc 의 값을 구하세요.

a∂2z∂x2+b∂2z∂x ∂y+c∂2z∂y2=∂2z∂s2+∂2z∂t2a\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} +b\frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} +c\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =\frac{\partial^2 z}{\partial s^2} +\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}

z=f(x,y)z = f(x,y) 는 매끄러운 함수이므로 연쇄 법칙과 혼합 편도함수의 같음에 대한 클레로의 정리를 적용할 수 있다고 가정해도 됩니다.

영어 원문 보기

Let z=f(x,y)z = f(x,y) where x=2s+tx = 2s + t and y=s−ty = s - t. Find the values of the constants aa, bb and cc such that

a∂2z∂x2+b∂2z∂x ∂y+c∂2z∂y2=∂2z∂s2+∂2z∂t2a\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} +b\frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} +c\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =\frac{\partial^2 z}{\partial s^2} +\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}

You may assume that z=f(x,y)z = f(x,y) is a smooth function so that the Chain Rule and Clairaut's Theorem on the equality of the mixed partial derivatives apply.

정답·풀이 보기

이 문제의 표기는 매우 좋지 않다. 기호 zz 가 한 등식 안에서 두 가지 다른 뜻으로 쓰였기 때문이다. 좌변에서는 xx 와 yy 의 함수이고, 우변에서는 ss 와 tt 의 함수이다. 안타깝게도 이러한 표기의 남용은 매우 흔하다. ss 와 tt 의 함수를 F(s,t)F(s,t) 로 바꾸어 표기의 충돌을 없애자. 즉,

F(s,t)=f(2s+t , s−t)F(s,t) = f\big(2s+t\,,\,s-t\big)

이 새 표기에서는 다음이 성립하도록 aa, bb, cc 를 구하면 된다.

a∂2f∂x2+b∂2f∂x∂y+c∂2f∂y2=∂2F∂s2+∂2F∂t2\begin{aligned} a\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +b\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +c\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &=\frac{\partial^2 F}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} \end{aligned}

여기서 우변의 인수는 (s,t)(s,t) 이고 좌변의 인수는 (2s+t , s−t)\big(2s+t\,,\,s-t\big) 이다.

연쇄 법칙에 의해

∂F∂s(s,t)=∂f∂x(2s+t , s−t)∂∂s(2s+t)+∂f∂y(2s+t , s−t)∂∂s(s−t)=2∂f∂x(2s+t , s−t)+∂f∂y(2s+t , s−t)∂2F∂s2(s,t)=2∂∂s[∂f∂x(2s+t , s−t)]+∂∂s[∂f∂y(2s+t , s−t)]=4∂2f∂x2(2s+t , s−t)+2∂2f∂y∂x(2s+t , s−t)+2∂2f∂x∂y(2s+t , s−t)+∂2f∂y2(2s+t , s−t)\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial s}(s,t)&= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial s}(2s+t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial s}(s-t) \\ &= 2\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ \frac{\partial^2 F}{\partial s^2}(s,t) &= 2\frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] + \frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right]\\ &= 4\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) + 2\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ & + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \end{aligned}

이고

∂F∂t(s,t)=∂f∂x(2s+t , s−t)∂∂t(2s+t)+∂f∂y(2s+t , s−t)∂∂t(s−t)=∂f∂x(2s+t , s−t)−∂f∂y(2s+t , s−t)∂2F∂t2(s,t)=∂∂t[∂f∂x(2s+t , s−t)]−∂∂t[∂f∂y(2s+t , s−t)]=∂2f∂x2(2s+t , s−t)−∂2f∂y∂x(2s+t , s−t)−∂2f∂x∂y(2s+t , s−t)+∂2f∂y2(2s+t , s−t)\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial t}(s,t)&= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial t}(2s+t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial t}(s-t)\\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) -\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(s,t) &= \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] -\frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] \\ &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) -\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ & -\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \end{aligned}

이다. 인수를 생략하면

∂2F∂s2+∂2F∂t2=5∂2f∂x2+2∂2f∂x∂y+2∂2f∂y2\begin{aligned} \frac{\partial^2 F}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} &=5\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{aligned}

이다. 마지막으로 문제의 (좋지 않은) 표기로 되돌리면

∂2z∂s2+∂2z∂t2=5∂2z∂x2+2∂2z∂x∂y+2∂2z∂y2\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} &=5\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} +2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} +2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{aligned}

이므로 a=5a=5 이고 b=c=2b=c=2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The notation in the statement of this question is horrendous — the symbol zz is used with two different meanings in one equation. On the left hand side, it is a function of xx and yy, and on the right hand side, it is a function of ss and tt. Unfortunately that abuse of notation is also very common. Let us undo the notation conflict by renaming the function of ss and tt to F(s,t)F(s,t). That is,

F(s,t)=f(2s+t , s−t)F(s,t) = f\big(2s+t\,,\,s-t\big)

In this new notation, we are being asked to find aa, bb and cc so that

a∂2f∂x2+b∂2f∂x∂y+c∂2f∂y2=∂2F∂s2+∂2F∂t2\begin{aligned} a\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +b\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +c\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &=\frac{\partial^2 F}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} \end{aligned}

with the arguments on the right hand side being (s,t)(s,t) and the arguments on the left hand side being (2s+t , s−t)\big(2s+t\,,\,s-t\big).

By the chain rule,

∂F∂s(s,t)=∂f∂x(2s+t , s−t)∂∂s(2s+t)+∂f∂y(2s+t , s−t)∂∂s(s−t)=2∂f∂x(2s+t , s−t)+∂f∂y(2s+t , s−t)∂2F∂s2(s,t)=2∂∂s[∂f∂x(2s+t , s−t)]+∂∂s[∂f∂y(2s+t , s−t)]=4∂2f∂x2(2s+t , s−t)+2∂2f∂y∂x(2s+t , s−t)+2∂2f∂x∂y(2s+t , s−t)+∂2f∂y2(2s+t , s−t)\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial s}(s,t)&= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial s}(2s+t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial s}(s-t) \\ &= 2\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ \frac{\partial^2 F}{\partial s^2}(s,t) &= 2\frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] + \frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right]\\ &= 4\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) + 2\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ & + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \end{aligned}

and

∂F∂t(s,t)=∂f∂x(2s+t , s−t)∂∂t(2s+t)+∂f∂y(2s+t , s−t)∂∂t(s−t)=∂f∂x(2s+t , s−t)−∂f∂y(2s+t , s−t)∂2F∂t2(s,t)=∂∂t[∂f∂x(2s+t , s−t)]−∂∂t[∂f∂y(2s+t , s−t)]=∂2f∂x2(2s+t , s−t)−∂2f∂y∂x(2s+t , s−t)−∂2f∂x∂y(2s+t , s−t)+∂2f∂y2(2s+t , s−t)\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial t}(s,t)&= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial t}(2s+t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial t}(s-t)\\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) -\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(s,t) &= \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] -\frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] \\ &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) -\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ & -\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \end{aligned}

Suppressing the arguments

∂2F∂s2+∂2F∂t2=5∂2f∂x2+2∂2f∂x∂y+2∂2f∂y2\begin{aligned} \frac{\partial^2 F}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} &=5\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{aligned}

Finally, translating back into the (horrendous) notation of the question

∂2z∂s2+∂2z∂t2=5∂2z∂x2+2∂2z∂x∂y+2∂2z∂y2\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} &=5\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} +2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} +2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{aligned}

so that a=5a=5 and b=c=2b=c=2.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 26번우리말 번역

파동 방정식

∂2u∂x2−1c2 ∂2u∂t2=0\frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0

은 파동과 같은 현상을 다루는 많은 모형에서 나타난다. u(x,t)u(x,t) 와 v(ξ,η)v(\xi,\eta) 가 다음의 변수 변환으로 서로 연결되어 있다고 하자.

u(x,t)=v(ξ(x,t),η(x,t))ξ(x,t)=x−ctη(x,t)=x+ct\begin{aligned} u(x,t)&=v\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)\\ \xi(x,t)&=x-ct\\ \eta(x,t)&=x+ct \end{aligned}

(a)  ∂2u∂x2−1c2∂2u∂t2=0 \ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0\ 일 필요충분조건이  ∂2v∂ξ∂η=0\ \frac{\partial^2 v}{\partial\xi\partial\eta}=0 임을 보이세요. (b)  ∂2u∂x2−1c2∂2u∂t2=0 \ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =0\ 일 필요충분조건이 어떤 함수 FF 와 GG 에 대해  u(x,t)=F(x−ct)+G(x+ct) \ u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)\ 임을 보이세요. (c)  F(x−ct)+G(x+ct) \ F(x-ct)+G(x+ct)\ 를 진행파의 관점에서 해석하세요. u(x,t)u(x,t) 를 xx 축을 따라 진행하는 파동의, 위치 xx 와 시각 tt 에서의 높이라고 생각하세요.

참고: 낯선 기호 ξ\xi 와 η\eta 에 당황하지 마세요. 이들은 그리스 문자 중 해롭지 않은 두 글자일 뿐이며, 각각 “크사이”와 “에타”라고 읽습니다.

다 풀었으면 정답 확인

u(x,t)=v(ξ(x,t),η(x,t))u(x,t)=v\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) 임을 기억하자. 연쇄 법칙에 의해

∂u∂x(x,t)=∂v∂ξ(ξ(x,t),η(x,t))∂ξ∂x+∂v∂η(ξ(x,t),η(x,t))∂η∂x=∂v∂ξ(ξ(x,t),η(x,t))+∂v∂η(ξ(x,t),η(x,t))∂u∂t(x,t)=∂v∂ξ(ξ(x,t),η(x,t))∂ξ∂t+∂v∂η(ξ(x,t),η(x,t))∂η∂t=−c∂v∂ξ(ξ(x,t),η(x,t))+c∂v∂η(ξ(x,t),η(x,t))\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) &= \frac{\partial v}{\partial \xi}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \xi}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial \eta}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \eta}{\partial x} \\ &= \frac{\partial v}{\partial \xi}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) +\frac{\partial v}{\partial \eta}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \\ \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) &= \frac{\partial v}{\partial \xi}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \xi}{\partial t} +\frac{\partial v}{\partial \eta}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \eta}{\partial t} \\ &= -c\frac{\partial v}{\partial \xi}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) +c\frac{\partial v}{\partial \eta}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \end{aligned}

연쇄 법칙을 다시 적용하면

∂2u∂x2(x,t)=∂∂x[∂v∂ξ(ξ(x,t),η(x,t))]+∂∂x[∂v∂η(ξ(x,t),η(x,t))]=∂2v∂ξ2(ξ(x,t),η(x,t))∂ξ∂x+∂2v ∂η∂ξ(ξ(x,t),η(x,t))∂η∂x+∂2v ∂ξ∂η(ξ(x,t),η(x,t))∂ξ∂x+∂2v∂η2(ξ(x,t),η(x,t))∂η∂x=∂2v∂ξ2(ξ(x,t),η(x,t))+2∂2v ∂ξ∂η(ξ(x,t),η(x,t))+∂2v∂η2(ξ(x,t),η(x,t))\begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) &= \frac{\partial }{\partial x} \Big[\frac{\partial v}{\partial \xi}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)\Big] + \frac{\partial }{\partial x} \Big[\frac{\partial v}{\partial \eta}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)\Big]\\ &= \frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \xi}{\partial x} +\frac{\partial^2 v\,}{\partial\eta\partial \xi} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \eta}{\partial x}\\& + \frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial \eta} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \xi}{\partial x} +\frac{\partial^2 v}{\partial \eta^2}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \eta}{\partial x}\\ &=\frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) +2\frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial \eta} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) +\frac{\partial^2 v}{\partial \eta^2}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \end{aligned}

이고

∂2u∂t2(x,t)=−c∂∂t[∂v∂ξ(ξ(x,t),η(x,t))]+c∂∂t[∂v∂η(ξ(x,t),η(x,t))]=−c[∂2v∂ξ2(ξ(x,t),η(x,t))∂ξ∂t+∂2v ∂η∂ξ(ξ(x,t),η(x,t))∂η∂t]+c[∂2v ∂ξ∂η(ξ(x,t),η(x,t))∂ξ∂t+∂2v∂η2(ξ(x,t),η(x,t))∂η∂t]=c2∂2v∂ξ2(ξ(x,t),η(x,t))−2c2∂2v ∂ξ∂η(ξ(x,t),η(x,t))+c2∂2v∂η2(ξ(x,t),η(x,t))\begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) &=-c \frac{\partial }{\partial t} \Big[\frac{\partial v}{\partial \xi}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)\Big] +c \frac{\partial }{\partial t} \Big[ \frac{\partial v}{\partial\eta} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)\Big] \\ &=-c \Big[\frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \xi}{\partial t} +\frac{\partial^2 v\,}{\partial\eta\partial \xi} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \eta}{\partial t}\Big] \\& +c \Big[\frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial\eta} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \xi}{\partial t} +\frac{\partial^2 v}{\partial\eta^2}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \frac{\partial \eta}{\partial t}\Big]\\ &=c^2\frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) -2c^2\frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial\eta} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) +c^2\frac{\partial^2 v}{\partial\eta^2}\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) \end{aligned}

이므로

∂2u∂x2(x,t)−1c2∂2u∂t2(x,t)=4∂2v ∂ξ∂η(ξ(x,t),η(x,t))\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) =4\frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial\eta} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)

이다. 따라서

∂2u∂x2(x,t)−1c2∂2u∂t2(x,t)=0 모든 (x,t)  ⟺  4∂2v ∂ξ∂η(ξ(x,t),η(x,t))=0 모든 (x,t)  ⟺  ∂2v ∂ξ∂η(ξ,η)=0 모든 (ξ,η)\begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)=0 \text{ 모든 }(x,t) &\iff 4\frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial\eta} \big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big)=0\text{ 모든 }(x,t)\\ &\iff \frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial\eta} \big(\xi,\eta\big)=0\text{ 모든 }(\xi,\eta) \end{aligned}

(b) 이제 ∂2v ∂ξ∂η(ξ,η)=∂∂ξ[∂v∂η]=0\frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial\eta}\big(\xi,\eta\big) =\frac{\partial}{\partial\xi} \Big[\frac{\partial v}{\partial\eta}\Big]=0 이다. 잠시 ∂v∂η=w\frac{\partial v}{\partial \eta}=w 라고 놓자. 등식 ∂w∂ξ(ξ,η)=0\frac{\partial w}{\partial \xi}(\xi,\eta)=0 은, 각각의 고정된 η\eta 에 대해 w(ξ,η)w(\xi,\eta) 가 상수임을 뜻한다. 이 상수의 값은 η\eta 에 따라 달라질 수 있다. 즉 어떤 함수 HH 에 대해 ∂v∂η(ξ,η)=w(ξ,η)=H(η)\frac{\partial v}{\partial \eta}(\xi,\eta)=w(\xi,\eta) =H(\eta) 이다. (확인해 보면 ∂∂ξH(η)=0\frac{\partial }{\partial \xi}H(\eta)=0 이다.) 따라서 vv 의 η\eta 에 대한 도함수는 (ξ\xi 를 상수로 보면) H(η)H(\eta) 이다.

G(η)G(\eta) 를 도함수가 H(η)H(\eta) 인 임의의 함수 (즉 H(η)H(\eta) 의 부정적분)라고 하자. 그러면 ∂∂η[v(ξ,η)−G(η)]=H(η)−H(η)=0\frac{\partial }{\partial \eta}\big[v(\xi,\eta)-G(\eta)]=H(\eta)-H(\eta)=0 이다. 이것은 각각의 고정된 ξ\xi 에 대해 v(ξ,η)−G(ξ,η)v(\xi,\eta)-G(\xi,\eta) 가 η\eta 와 무관한 상수일 때, 그리고 그때에 한해 성립한다. 즉 다음과 필요충분조건이다.

v(ξ,η)−G(η)=F(ξ)v(\xi,\eta)-G(\eta)=F(\xi)

(어떤 함수 FF 에 대해). 따라서

∂2u∂x2(x,t)−1c2∂2u∂t2(x,t)=0  ⟺  ∂2v ∂ξ∂η(ξ,η)=0 모든 (ξ,η)  ⟺  v(ξ,η)=F(ξ)+G(η) 어떤 함수 F 와 G 에 대해  ⟺  u(x,t)=v(ξ(x,t),η(x,t))=F(ξ(x,t))+G(η(x,t))  ⟺  u(x,t) =F(x−ct)+G(x+ct)\begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)=0 &\iff \frac{\partial^2 v\,}{\partial\xi\partial\eta} \big(\xi,\eta\big)=0\text{ 모든 }(\xi,\eta)\\ &\iff v(\xi,\eta)=F(\xi)+G(\eta)\text{ 어떤 함수 $F$ 와 $G$ 에 대해}\\ &\iff u(x,t)=v\big(\xi(x,t),\eta(x,t)\big) =F\big(\xi(x,t)\big)+G\big(\eta(x,t)\big)\\ &\phantom{\iff u(x,t)\,}=F(x-ct)+G(x+ct) \end{aligned}

(c) F(x−ct)F(x-ct) 의 해석을 제시하겠다. G(x+ct)G(x+ct) 의 경우도 비슷하다. u(x,t)=F(x−ct)u(x,t)=F(x-ct) 라고 하자. u(x,t)u(x,t) 를 위치 xx, 시각 tt 에서의 물의 높이라고 생각하자. 임의의 수 zz 를 잡자. 시공간에서 x−ct=zx-ct=z 를 만족하는 모든 점 (x,t)(x,t) 는 uu 의 값이 F(z)F(z) 로 모두 같다. 그러므로 위치가 x=z+ctx=z+ct 가 되도록 움직이면 (즉 속력 cc 로 오른쪽으로 움직이면) 항상 같은 파동의 높이를 보게 된다. 따라서 F(x−ct)F(x-ct) 는 속력 cc 로 오른쪽으로 진행하는 파동을 나타낸다.

그림

마찬가지로 G(x+ct)G(x+ct) 는 속력 cc 로 왼쪽으로 진행하는 파동을 나타낸다.

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