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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수 연쇄법칙

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

정의에 따르면, 미분가능한 함수 f(x,y)f(x,y) 의 점 (x0 , y0)\big( x_0\,,\,y_0\big) 에서의 기울기 벡터는 다음과 같다.

∇f(x0,y0)=<∂f∂x(x0 , y0) , ∂f∂y(x0 , y0)>{ \boldsymbol{\nabla} } f(x_0,y_0) =\left< \frac{\partial f}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\big)\,,\, \frac{\partial f}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\big)\right>

다음을 알고 있다고 하자.

∇f(3,6)=<7,8>{ \boldsymbol{\nabla} } f(3,6)=\left< 7,8\right>

또한

∇g(1,2)=<−1,4>,{ \boldsymbol{\nabla} } g(1,2)=\left< -1,4\right>,

이고

∇h(1,2)=<−5,10>.{ \boldsymbol{\nabla} } h(1,2)=\left< -5,10\right>.

이라고 하자.

g(1,2)=3g(1,2)=3, h(1,2)=6h(1,2)=6 이고 z(s,t)=f(g(s,t),h(s,t))z(s,t)=f\big(g(s,t),h(s,t)\big) 일 때, 다음을 구하세요.

∇z(1,2){ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)

영어 원문 보기

By definition, the gradient of the differentiable function f(x,y)f(x,y) at the point (x0 , y0)\big( x_0\,,\,y_0\big) is

∇f(x0,y0)=<∂f∂x(x0 , y0) , ∂f∂y(x0 , y0)>{ \boldsymbol{\nabla} } f(x_0,y_0) =\left< \frac{\partial f}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\big)\,,\, \frac{\partial f}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\big)\right>

Suppose that we know

∇f(3,6)=<7,8>{ \boldsymbol{\nabla} } f(3,6)=\left< 7,8\right>

Suppose also that

∇g(1,2)=<−1,4>,{ \boldsymbol{\nabla} } g(1,2)=\left< -1,4\right>,

and

∇h(1,2)=<−5,10>.{ \boldsymbol{\nabla} } h(1,2)=\left< -5,10\right>.

Assuming g(1,2)=3g(1,2)=3, h(1,2)=6h(1,2)=6, and z(s,t)=f(g(s,t),h(s,t))z(s,t)=f\big(g(s,t),h(s,t)\big), find

∇z(1,2){ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)

정답·풀이 보기

연쇄 법칙에 의해

∂z∂s(s,t)=∂∂sf(g(s,t),h(s,t))=∂f∂x(g(s,t),h(s,t))∂g∂s(s,t)+∂f∂y(g(s,t),h(s,t))∂h∂s(s,t)∂z∂t(s,t)=∂∂tf(g(s,t),h(s,t))=∂f∂x(g(s,t),h(s,t))∂g∂t(s,t)+∂f∂y(g(s,t),h(s,t))∂h∂t(s,t)\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(s,t) \\ \frac{\partial z}{\partial t}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(s,t) \end{aligned}

특히

∂z∂s(1,2)=∂f∂x(g(1,2),h(1,2))∂g∂s(1,2)+∂f∂y(g(1,2),h(1,2))∂h∂s(1,2)=∂f∂x(3,6)∂g∂s(1,2)+∂f∂y(3,6))∂h∂s(1,2)=7×(−1)+8×(−5)=−47∂z∂t(1,2)=∂f∂x(g(1,2),h(1,2))∂g∂t(1,2)+∂f∂y(g(1,2),h(1,2))∂h∂t(1,2)=7×4+8×10=108\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}(3,6) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}(3,6)) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=7\times(-1)+8\times(-5) =-47\\ \frac{\partial z}{\partial t}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(1,2) \\ &=7\times4+8\times 10 =108 \end{aligned}

따라서 ∇z(1,2)=<−47,108>{ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)=\left< -47,108\right> 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the chain rule

∂z∂s(s,t)=∂∂sf(g(s,t),h(s,t))=∂f∂x(g(s,t),h(s,t))∂g∂s(s,t)+∂f∂y(g(s,t),h(s,t))∂h∂s(s,t)∂z∂t(s,t)=∂∂tf(g(s,t),h(s,t))=∂f∂x(g(s,t),h(s,t))∂g∂t(s,t)+∂f∂y(g(s,t),h(s,t))∂h∂t(s,t)\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(s,t) \\ \frac{\partial z}{\partial t}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(s,t) \end{aligned}

In particular

∂z∂s(1,2)=∂f∂x(g(1,2),h(1,2))∂g∂s(1,2)+∂f∂y(g(1,2),h(1,2))∂h∂s(1,2)=∂f∂x(3,6)∂g∂s(1,2)+∂f∂y(3,6))∂h∂s(1,2)=7×(−1)+8×(−5)=−47∂z∂t(1,2)=∂f∂x(g(1,2),h(1,2))∂g∂t(1,2)+∂f∂y(g(1,2),h(1,2))∂h∂t(1,2)=7×4+8×10=108\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}(3,6) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}(3,6)) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=7\times(-1)+8\times(-5) =-47\\ \frac{\partial z}{\partial t}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(1,2) \\ &=7\times4+8\times 10 =108 \end{aligned}

Hence ∇z(1,2)=<−47,108>{ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)=\left< -47,108\right>.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 23번우리말 번역

(a) ff 를 실수 전체에서 정의된 임의의 미분가능한 함수라 하자. 평면 전체에서 다음과 같이 정의된 함수 ww 가

w(x,y)=e−yf(x−y)w(x,y)=e^{-y}f(x-y)

편미분방정식

w+∂w∂x+∂w∂y=0w+\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}=0

을 만족시킴을 보이세요. (b) 방정식 x=u3−3uv2x=u^3-3uv^2, y=3u2v−v3y=3u^2v-v^3, z=u2−v2z=u^2-v^2 은 zz 를 xx 와 yy 의 함수로 정의한다. 점 (x,y)=(2,11)(x,y)=(2,11) 에 대응하는 점 (u,v)=(2,1)(u,v)=(2,1) 에서 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해

wx(x,y)=∂∂x[e−yf(x−y)]=e−y∂∂x[f(x−y)]=e−yf′(x−y)∂∂x(x−y)=e−yf′(x−y)wy(x,y)=∂∂y[e−yf(x−y)]=−e−yf(x−y)+e−y∂∂y[f(x−y)]=−e−yf(x−y)+e−yf′(x−y)∂∂y(x−y)=−e−yf(x−y)−e−yf′(x−y)\begin{aligned} w_x(x,y) &= \frac{\partial }{\partial x}\big[e^{-y}f(x-y)\big] = e^{-y} \frac{\partial }{\partial x}\big[f(x-y)\big] = e^{-y} f'(x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x-y) \\ &= e^{-y}f'(x-y) \\% w_y(x,y) &= \frac{\partial }{\partial y}\big[e^{-y}f(x-y)\big] = -e^{-y}f(x-y) + e^{-y} \frac{\partial }{\partial y}\big[f(x-y)\big] \\ &= -e^{-y}f(x-y) + e^{-y} f'(x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x-y) \\ &= -e^{-y}f(x-y)-e^{-y}f'(x-y) \end{aligned}

이므로

w+∂w∂x+∂w∂y=e−yf(x−y)+e−yf′(x−y)−e−yf(x−y)−e−yf′(x−y)=0w+\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y} =e^{-y}f(x-y)+e^{-y}f'(x-y)-e^{-y}f(x-y)-e^{-y}f'(x-y) =0

이다. 따라서 성립한다.

(b) x=u3−3uv2x=u^3-3uv^2, y=3u2v−v3y=3u^2v-v^3 을 xx, yy 가 주어진 매개변수이고 uu, vv 가 미지수인 두 방정식으로 생각하자. 문제는 적어도 (u,v)=(2,1)(u,v)=(2,1), (x,y)=(2,11)(x,y)=(2,11) 근처에서 이 두 방정식을 uu, vv 에 대해 xx, yy 로 풀 수 있음을 암묵적으로 알려 준다. 즉, 함수 u(x,y)u(x,y) 와 v(x,y)v(x,y) 가 다음 식으로 정해진다는 것을 알려 준다.

x=u(x,y)3−3u(x,y) v(x,y)2y=3u(x,y)2v(x,y)−v(x,y)3x=u(x,y)^3-3u(x,y)\,v(x,y)^2\qquad y=3u(x,y)^2v(x,y)-v(x,y)^3

등식 x=u(x,y)3−3u(x,y)v(x,y)2x=u(x,y)^3-3u(x,y)v(x,y)^2 의 양변에 ∂∂x\frac{\partial }{\partial x} 를 취하면

1=3 u(x,y)2 ∂u∂x(x,y)−3∂u∂x(x,y) v(x,y)2−6 u(x,y) v(x,y) ∂v∂x(x,y)\begin{aligned} 1&=3\,u(x,y)^2\,\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) -3\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)\,v(x,y)^2 -6\,u(x,y)\,v(x,y)\,\frac{\partial v}{\partial x}(x,y) \\[0.05in] \end{aligned}

이다. 다음으로 y=3u(x,y)2v(x,y)−v(x,y)3y=3u(x,y)^2v(x,y)-v(x,y)^3 의 양변에 ∂∂x\frac{\partial }{\partial x} 를 취하면

0=6 u(x,y) ∂u∂x(x,y) v(x,y)+3 u(x,y)2 ∂v∂x(x,y)−3 v(x,y)2 ∂v∂x(x,y)\begin{aligned} 0&=6\,u(x,y)\,\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)\,v(x,y) +3\,u(x,y)^2\,\frac{\partial v}{\partial x}(x,y) -3\,v(x,y)^2\,\frac{\partial v}{\partial x}(x,y) \end{aligned}

이다. x=2x=2, y=11y=11, u=2u=2, v=1v=1 을 대입하면

1=12∂u∂x(2,11)−3∂u∂x(2,11)−12∂v∂x(2,11)=9∂u∂x(2,11)−12∂v∂x(2,11)0=12∂u∂x(2,11)+12∂v∂x(2,11)−3∂v∂x(2,11)=12∂u∂x(2,11)+9∂v∂x(2,11)\begin{aligned} 1&=12\frac{\partial u}{\partial x}(2,11) -3\frac{\partial u}{\partial x}(2,11) -12\frac{\partial v}{\partial x}(2,11) &&=9\frac{\partial u}{\partial x}(2,11) -12\frac{\partial v}{\partial x}(2,11)\\[0.05in] 0&=12\frac{\partial u}{\partial x}(2,11) +12\frac{\partial v}{\partial x}(2,11) -3\frac{\partial v}{\partial x}(2,11) &&=12\frac{\partial u}{\partial x}(2,11) +9\frac{\partial v}{\partial x}(2,11) \end{aligned}

이다. 두 번째 식에서 ∂v∂x(2,11)=−43∂u∂x(2,11)\frac{\partial v}{\partial x}(2,11) =-\frac{4}{3}\frac{\partial u}{\partial x}(2,11) 이다. 이를 첫 번째 식에 대입하면

1=9∂u∂x(2,11)−12[−43∂u∂x(2,11)]=25∂u∂x(2,11)1=9\frac{\partial u}{\partial x}(2,11) -12\left[-\frac{4}{3}\frac{\partial u}{\partial x}(2,11)\right] = 25\frac{\partial u}{\partial x}(2,11)

이므로 ∂u∂x(2,11)=125\frac{\partial u}{\partial x}(2,11)=\frac{1}{25} 이고 ∂v∂x(2,11)=−475\frac{\partial v}{\partial x}(2,11)=-\frac{4}{75} 이다. 또한 문제에서 z(x,y)=u(x,y)2−v(x,y)2z(x,y)=u(x,y)^2-v(x,y)^2 임을 알 수 있다. 따라서

∂z∂x(x,y)=2u(x,y)∂u∂x(x,y)−2v(x,y)∂v∂x(x,y)  ⟹  ∂z∂x(2,11)=4∂u∂x(2,11)−2∂v∂x(2,11)=4125+2475=2075=415\begin{aligned} &\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =2u(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) -2v(x,y)\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)\\ \implies & \frac{\partial z}{\partial x}(2,11) =4\frac{\partial u}{\partial x}(2,11) -2\frac{\partial v}{\partial x}(2,11) =4\frac{1}{25}+2\frac{4}{75}=\frac{20}{75} =\frac{4}{15} \end{aligned}

이다.

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