접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.5절 · 11번

CLP-3 · 2.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 위의 점 중에서 접평면이 평면 $x - 8z = 0$ 과 평행한 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all the points on the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ where the tangent plane is parallel to the plane $x - 8z = 0$ .

정답·풀이 보기

곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 의 점 $(x,y,z)$ 에서의 법선벡터는 $\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right>$ 이다. 평면 $x - 8z = 0$ 의 법선벡터는 $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ 이다. 따라서 $\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right>$ 가 $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ 과 평행해야 하며, 즉 $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ 의 0이 아닌 상수배여야 한다. 이는 $x\ne 0$ 이고 $y=0$ , $z=-2x$ 일 때마다 성립한다. 또한 $(x,y,z)$ 가 곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 위에 있어야 한다. 따라서 $y=0$ , $z=-2x$ 이고

$\begin{aligned} 17= x^2 + 9y^2 + 4z^2 =x^2 +4(-2x)^2=17x^2 \implies x=\pm 1 \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 조건을 만족하는 점은 $\pm(1,0,-2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

A normal vector to the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ at the point $(x,y,z)$ is $\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right>$ . A normal vector to the plane $x - 8z = 0$ is $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ . So we want $\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right>$ to be parallel to $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ , i.e. to be a nonzero constant times $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ . This is the case whenever $y=0$ and $z=-2x$ with $x\ne 0$ . In addition, we want $(x,y,z)$ to lie on the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ . So we want $y=0$ , $z=-2x$ and

$\begin{aligned} 17= x^2 + 9y^2 + 4z^2 =x^2 +4(-2x)^2=17x^2 \implies x=\pm 1 \end{aligned}$

So the allowed points are $\pm(1,0,-2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 12.7절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 점 $P$ 에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 모두 0이면 $P$ 는 $f$ 의 임계점이다.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류