접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.5절 · 14번

CLP-3 · 2.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

두 곡면 $\ z^2=4x^2+9y^2\$ 과 $\ 6x+3y+2z=5\$ 의 교선에 접하고 길이가 $\sqrt{3}$ 인 벡터를 점 $\ (2,1,-5)$ 에서 구하세요.

영어 원문 보기

Find a vector of length $\sqrt{3}$ which is tangent to the curve of intersection of the surfaces $\ z^2=4x^2+9y^2\$ and $\ 6x+3y+2z=5\$ at $\ (2,1,-5)$ .

정답·풀이 보기

점 $(2,1,-5)$ 에서 곡면 $F(x,y,z)=4x^2+9y^2-z^2=0$ 에 수직인 벡터 하나는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(2,1,-5) = \left< 8x,18y,-2z\right>\Big|_{(2,1,-5)}=\left< 16,18,10\right> \end{aligned}$

점 $(2,1,-5)$ 에서 곡면 $G(x,y,z)=6x+3y+2z=5$ 에 수직인 벡터 하나는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(2,1,-5) = \left< 6,3,2\right> \end{aligned}$

이제

곡선은 곡면 $z^2=4x^2+9y^2$ 위에 있다. 따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 법선벡터 $\frac{1}{2}\left< 16,18,10\right>=\left< 8,9,5\right>$ 에 수직이다.
곡선은 곡면 $6x+3y+2z=5$ 위에도 있다. 따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 법선벡터 $\left< 6,3,2\right>$ 에도 수직이다.
따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 다음 벡터와 평행하다.

$\begin{aligned} \left< 8,9,5\right>\times \left< 6,3,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 8 & 9 & 5 \\ 6 & 3 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3,14,-30\right> \end{aligned}$

구하는 벡터는 다음과 같다.

$\pm\sqrt{3}\frac{\left< 3,14,-30\right>}{|\left< 3,14,-30\right>|} =\pm\sqrt{\frac{3}{1105}}\left< 3,14,-30\right>$

원본 교재 풀이(영어)

One vector normal to the surface $F(x,y,z)=4x^2+9y^2-z^2=0$ at $(2,1,-5)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(2,1,-5) = \left< 8x,18y,-2z\right>\Big|_{(2,1,-5)}=\left< 16,18,10\right> \end{aligned}$

One vector normal to the surface $G(x,y,z)=6x+3y+2z=5$ at $(2,1,-5)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(2,1,-5) = \left< 6,3,2\right> \end{aligned}$

Now

The curve lies in the surface $z^2=4x^2+9y^2$ . So the tangent vector to the curve at $(2,1,-5)$ is perpendicular to the normal vector $\frac{1}{2}\left< 16,18,10\right>=\left< 8,9,5\right>$ .
The curve also lies in the surface $6x+3y+2z=5$ . So the tangent vector to the curve at $(2,1,-5)$ is also perpendicular to the normal vector $\left< 6,3,2\right>$ .
So the tangent vector to the curve at $(2,1,-5)$ is parallel to

The desired vectors are

$\pm\sqrt{3}\frac{\left< 3,14,-30\right>}{|\left< 3,14,-30\right>|} =\pm\sqrt{\frac{3}{1105}}\left< 3,14,-30\right>$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.5절 · 15번우리말 번역

방정식이

$z=xy e^{-(x^2+y^2)/2}$

인 곡면에 접하는 수평 평면을 모두 구하세요.

이 곡면 위에서 $z$ 의 최댓값과 최솟값은 각각 얼마입니까?

다 풀었으면 정답 확인

$(x_0,y_0,z_0)$ 을 곡면 위의 임의의 점이라 하자. $(x_0,y_0,z_0)$ 에서 곡면에 수직인 벡터는

$\begin{aligned} &{ \boldsymbol{\nabla} }\Big(xy e^{-(x^2+y^2)/2}-z\Big)\bigg|_{(x_0,y_0,z_0)} \\& =\left< y_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}-x_0^2y_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}, x_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}-x_0y_0^2 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2},-1\right> \end{aligned}$

이다.

$(x_0,y_0,z_0)$ 에서 곡면의 접평면이 수평이 될 필요충분조건은 이 벡터가 수직인 것이고, 이는 이 벡터의 $x$ 성분과 $y$ 성분이 모두 0인 것과 같으며, 이는 다시 다음과 같다.

$\begin{aligned} &y_0(1-x_0^2)=0\text{ 그리고 }x_0(1-y_0^2)=0\\ &\iff\big\{y_0=0\text{ 또는 }x_0=1\text{ 또는 }x_0=-1\big\} \text{ 그리고 }\big\{x_0=0\text{ 또는 }y_0=1\text{ 또는 }y_0=-1\big\}\\ &\iff (x_0,y_0)=(0,0)\text{ 또는 }(1,1)\text{ 또는 }(1,-1) \text{ 또는 }(-1,1)\text{ 또는 }(-1,-1) \end{aligned}$

이 점들에서 $z_0$ 의 값은 각각 $0$ , $e^{-1}$ , $-e^{-1}$ , $-e^{-1}$ , $e^{-1}$ 이다. 따라서 수평인 접평면은 $z=0$ , $z=e^{-1}$ , $z=-e^{-1}$ 이다. 곡면의 가장 높은 점과 가장 낮은 점에서는 접평면이 수평이다. 따라서 $z$ 의 최댓값과 최솟값은 각각 $e^{-1}$ 과 $-e^{-1}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류