접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 15번

CLP-3 · 2.6절 · 15번대학 수준우리말 번역

삼각형의 두 변과 그 끼인각을 측정하였더니 각각 $3\pm.1$ m, $4\pm.1$ m, $90\pm 1^\circ$ 이었다. 이때 코사인법칙 $C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta$ 를 이용하여 셋째 변의 길이를 계산한다. 계산한 $C$ 의 값에서 생기는 최대 오차의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Two sides and the enclosed angle of a triangle are measured to be $3\pm.1$ m, $4\pm.1$ m and $90\pm 1^\circ$ respectively. The length of the third side is then computed using the cosine law $C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta$ . What is the approximate maximum error in the computed value of $C$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$C(A,B,\theta)=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos\theta}$ 라 하자. 그러면 $C\big(3,4,\frac{\pi}{2}\big)=5$ 이다. $C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta$ 를 미분하면

$\begin{aligned} 2C\frac{\partial C}{\partial A}(A,B,\theta)&=2A-2B\cos\theta &\quad&\implies\quad & 10\frac{\partial C}{\partial A}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=6\\ 2C\frac{\partial C}{\partial B}(A,B,\theta)&=2B-2A\cos\theta & &\implies & 10\frac{\partial C}{\partial B}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=8\\ 2C\frac{\partial C}{\partial \theta}(A,B,\theta)&=2AB\sin\theta & &\implies & 10\frac{\partial C}{\partial \theta}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=24\\ \end{aligned}$

이다. 따라서 계산한 $C$ 의 값에서 생기는 최대 오차의 근삿값은

$\begin{aligned} |\Delta C|&\approx \left| \frac{\partial C}{\partial A}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta A +\frac{\partial C}{\partial B}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta B +\frac{\partial C}{\partial \theta}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta \theta\right| \\ &\le(0.6)(0.1)+(0.8)(0.1)+(2.4)\frac{\pi}{180}\\ &=\frac{\pi}{75}+0.14\le 0.182 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $C(A,B,\theta)=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos\theta}$ . Then $C\big(3,4,\frac{\pi}{2}\big)=5$ . Differentiating $C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta$ gives

Hence the approximate maximum error in the computed value of $C$ is

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 14번우리말 번역

$z = f(x,y)$ 가 다음 식으로 음함수로 주어져 있다고 하자.

$e^z + yz = x + y.$

(a) 전미분 $\mathrm{d}z$ 를 구하세요. (b) 점 $(1,0)$ 에서의 선형 근사를 이용하여 $f(0.99,0.01)$ 의 값을 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

정의에 따라 $x=a$ , $y=b$ 에서의 전미분은

$f_x(a,b)\,\mathrm{d}x + f_y(a,b)\,\mathrm{d}y$

이므로 편도함수 $f_x(a,b)$ 와 $f_y(a,b)$ 를 구해야 한다. 주어진 조건에서

$e^{f(x,y)} + y\,f(x,y) = x + y$

가 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 성립한다. 이 등식의 양변을 $x$ 에 대해, 그리고 $y$ 에 대해 각각 미분하면 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} e^{f(x,y)}f_x(x,y) + y\,f_x(x,y) = 1 \\ e^{f(x,y)}f_y(x,y) + f(x,y) +y\,f_y(x,y) = 1 \end{aligned}$

을 얻는다. 첫째 식을 $f_x$ 에 대해, 둘째 식을 $f_y$ 에 대해 풀면

$\begin{aligned} f_x(x,y) &= \frac{1}{e^{f(x,y)}+y} \\ f_y(x,y) &= \frac{1-f(x,y)}{e^{f(x,y)}+y} \end{aligned}$

이다. 따라서 $x=a$ , $y=b$ 에서의 전미분은

$\frac{\mathrm{d}x}{e^{f(a,b)}+b} + \frac{1-f(a,b)}{e^{f(a,b)}+b} \,\mathrm{d}y$

이다. 일반적인 $a$ 와 $b$ 에 대해서는 $f(a,b)$ 를 명시적으로 구할 수 없으므로, 이 이상 할 수 있는 것은 많지 않다.

(b) 특히 $a=1$ , $b=0$ 일 때

$e^{f(1,0)} + 0\,f(1,0) = 1 + 0 \implies e^{f(1,0)} = 1 \implies f(1,0)=0$

이고, 선형 근사는 다음과 같이 간단해진다.

$f\big(1+\mathrm{d}x\,,\,\mathrm{d}y\big) \approx f(1,0) + \frac{\mathrm{d}x}{e^{f(1,0)}+0} + \frac{1-f(1,0)}{e^{f(1,0)}+0} \,\mathrm{d}y = \mathrm{d}x +\mathrm{d}y$

$\mathrm{d}x = -0.01$ , $\mathrm{d}y = 0.01$ 로 잡으면

$f\big(0.99\,,\,0.01\big) \approx -0.01 + 0.01 =0$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류