접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 19번

CLP-3 · 2.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 곡면을 생각하세요.

$z^3 - xyz^2 - 4x = 0.$

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 의 함수로 나타내는 식을 구하세요. (b) $(1, 1, 2)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요. (c) 측정에는 오차가 있어서 $x = 1 \pm 0.03$ 이고 $y = 1 \pm 0.02$ 입니다. 이때 $z$ 를 측정할 때의 최대 오차를 구하세요. (d) 한 입자가 이 곡면 위를 움직이는데, 그 경로를 $xy$ 평면에 사영한 것이 각 $\theta$ 에 대하여

$x(\theta) = 1 + \cos\theta,\ y(\theta) = \sin\theta$

로 주어지고, 점 $A : x = 2,\ y = 0$ 에서 점 $B : x = 1,\ y = 1$ 까지 움직입니다. 점 $A$ 와 $B$ 에서 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the surface given by:

$z^3 - xyz^2 - 4x = 0.$

(a) Find expressions for $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ as functions of $x$ , $y$ , $z$ . (b) Evaluate $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ at $(1, 1, 2)$ . (c) Measurements are made with errors, so that $x = 1 \pm 0.03$ and $y = 1 \pm 0.02$ . Find the corresponding maximum error in measuring $z$ . (d) A particle moves over the surface along the path whose projection in the $xy$ –plane is given in terms of the angle $\theta$ as

$x(\theta) = 1 + \cos\theta,\ y(\theta) = \sin\theta$

from the point $A : x = 2,\ y = 0$ to the point $B : x = 1,\ y = 1$ . Find $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}$ at points $A$ and $B$ .

정답·풀이 보기

(a) 주어진 조건에서

$z(x,y)^3 - xy\,z(x,y)^2 - 4x = 0$

이 모든 $(x,y)$ ( $(1,1)$ 에 충분히 가까운)에 대해 성립한다. 이 방정식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} & 3z(x,y)^2\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) -y\, z(x,y)^2 -2xy\,z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - 4=0 \\ \implies &\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{4+yz^2}{3z^2-2xyz} \end{aligned}$

이고, $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} & 3z(x,y)^2\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) -x\, z(x,y)^2 -2xy\,z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =0 \\ \implies &\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz^2}{3z^2-2xyz} \end{aligned}$

이다.

(b) $(x,y,z)=(1,1,2)$ 일 때,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{4+(1)(2)^2}{3(2)^2-2(1)(1)(2)} = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{(1)(2)^2}{3(2)^2-2(1)(1)(2)} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

이다.

$z(x,y) \approx z(1,1) + z_x(1,1)\,(x-1) + z_y\,(1,1)\,(y-1) = 2 + (x-1) +\frac{1}{2}(y-1)$

이다. 따라서 $x$ 의 오차 $\pm 0.03$ 과 $y$ 의 오차 $\pm 0.02$ 로 인해 $z$ 에는 약

$\pm\left[0.03 + \frac{1}{2}(0.02)\right] =\pm 0.04$

의 오차가 생긴다.

(d) 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} z\big(x(\theta),y(\theta)\big) &= z_x\big(x(\theta),y(\theta)\big)\,x'(\theta) +z_y\big(x(\theta),y(\theta)\big)\,y'(\theta) \\ &=-z_x\big(1 + \cos\theta,\sin\theta\big)\,\sin\theta +z_y\big(1 + \cos\theta,\sin\theta\big)\,\cos\theta \end{aligned}$

이다.

$A$ 에서는 $x=2$ , $y=0$ , $z=2$ ( $z^3-(2)(0)z^2-4(2)=0$ 이므로)이고 $\theta=0$ 이므로

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,0) = \frac{4+(0)(2)^2}{3(2)^2-2(2)(0)(2)} = \frac{1}{3}\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(2,0) = \frac{(2)(2)^2}{3(2)^2-2(2)(0)(2)} = \frac{2}{3} \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\frac{1}{3}\sin(0) +\frac{2}{3}\cos(0) =\frac{2}{3} \end{aligned}$

이다.

$B$ 에서는 $x=1$ , $y=1$ , $z=2$ 이고 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이므로 (b)에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\sin\frac{\pi}{2} +\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} = -1 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that

$z(x,y)^3 - xy\,z(x,y)^2 - 4x = 0$

for all $(x,y)$ (sufficiently near $(1,1)$ ). Differentiating this equation with respect to $x$ gives

and differentiating with respect to $y$ gives

(b) When $(x,y,z)=(1,1,2)$ ,

$z(x,y) \approx z(1,1) + z_x(1,1)\,(x-1) + z_y\,(1,1)\,(y-1) = 2 + (x-1) +\frac{1}{2}(y-1)$

So errors of $\pm 0.03$ in $x$ and $\pm 0.02$ in $y$ leads of errors of about

$\pm\left[0.03 + \frac{1}{2}(0.02)\right] =\pm 0.04$

in $z$ .

(d) By the chain rule

At $A$ , $x=2$ , $y=0$ , $z=2$ (since $z^3-(2)(0)z^2-4(2)=0$ ) and $\theta=0$ , so that

and

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\frac{1}{3}\sin(0) +\frac{2}{3}\cos(0) =\frac{2}{3} \end{aligned}$

At $B$ , $x=1$ , $y=1$ , $z=2$ and $\theta=\frac{\pi}{2}$ , so that, by part (b),

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\sin\frac{\pi}{2} +\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} = -1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 18번우리말 번역

$z$ 가 $x$ , $y$ 의 함수이고

$z^3 - z + 2xy - y^2 = 0,\qquad z(2, 4) = 1$

을 만족시킨다고 하자.

(a) 점 $(2, 4)$ 에서 $z$ 의 선형 근사를 구하세요. (b) (a)의 답을 이용하여 $(2.02, 3.96)$ 에서 $z$ 의 값을 어림하세요.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 함수 $z(x,y)$ 는 $(2,4)$ 근처의 모든 $(x,y)$ 에 대해

$z(x,y)^3-z(x,y)+2xy-y^2=0$

을 만족시킨다. $x$ 와 $y$ 에 대해 각각 미분하면

$\begin{aligned} 3z(x,y)^2\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+2y&=0 \\ 3z(x,y)^2\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) -\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)+2x-2y&=0 \end{aligned}$

이다. $x=2$ , $y=4$ , $z(2,4)=1$ 을 대입하면

$\begin{aligned} 3\frac{\partial z}{\partial x}(2,4) -\frac{\partial z}{\partial x}(2,4)+8&=0 & &\iff & \frac{\partial z}{\partial x}(2,4) & = -4 \\ 3\frac{\partial z}{\partial y}(2,4) -\frac{\partial z}{\partial y}(2,4)+4-8&=0 & &\iff & \frac{\partial z}{\partial y}(2,4) & = 2 \end{aligned}$

이다. 따라서 선형 근사는

$\begin{aligned} z(x,y)&\approx z(2,4)+z_x(2,4)(x-2)+z_y(2,4)(y-4)= 1-4(x-2)+2(y-4) \\ &=1-4x+2y \end{aligned}$

이다.

(b) $x=2.02$ , $y=3.96$ 을 대입하면

$\begin{aligned} z(2.02,3.96)\approx 1-4\times0.02+2\times(-0.04) =0.84 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류