접평면과 선형근사

(a) 점 $(a,b)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b) \\ &= \ln(4a^2 + b^2) + \frac{8a}{4a^2+b^2}\, (x-a) + \frac{2b}{4a^2+b^2}\, (y-b) \end{aligned}$$

특히 $a=0$, $b=1$ 일 때

$$\begin{aligned} f(x,y) &\approx 2\, (y-1) \end{aligned}$$

이고, $x=0.1$, $y=1.2$ 일 때

$$\begin{aligned} f(0.1,1.2) &\approx 0.4 \end{aligned}$$

이다.

(b) 점 $(a,b,c)$ 가 곡면 $z=f(x,y)$ 위에 있을 필요충분조건은

$$c = f(a,b) = \ln(4a^2 + b^2)$$

이다. 이에 따라 $4a^2 + b^2$ 은 0이 아니어야 한다. 점 $(a,b,c)$ 에서 곡면 $z = f (x, y)$ 의 접평면이 평면 $2x + 2y - z = 3$ 과 평행할 필요충분조건은 $\left< 2\,,\,2\,,\,-1\right>$ 이 그 접평면의 법선 벡터인 것이다. 즉, 0이 아닌 수 $t$ 가 존재하여

$$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,-1\right> =t\left< f_x(a,b)\,,\,f_y(a,b)\,,\ -1\right> =t\left< \frac{8a}{4a^2+b^2} \,,\, \frac{2b}{4a^2+b^2} \,,\,-1\right> \end{aligned}$$

이다. $z$ 좌표가 같으려면 $t$ 는 $1$ 이어야 한다. 그러면 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 같아야 하므로

$$\begin{aligned} \frac{8a}{4a^2+b^2} &= 2 \\ \frac{2b}{4a^2+b^2} &= 2 \end{aligned}$$

이어야 한다. 이 방정식들로부터 $a$ 와 $b$ 는 모두 0이 아니다. 두 방정식을 서로 나누면 $\frac{8a}{2b}=1$ 이므로 $b=4a$ 이다. $b=4a$ 를 두 방정식 중 어느 하나에 대입하면

$$\begin{aligned} \frac{8a}{20a^2}=2 \implies a=\frac{1}{5} \end{aligned}$$

이다. 따라서 $a=\frac{1}{5}$, $b=\frac{4}{5}$ 이고

$$\begin{aligned} c=\ln\left(\frac{4}{5^2}+\frac{4^2}{5^2}\right) =\ln\frac{4}{5} \end{aligned}$$

이다.