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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

방향도함수와 기울기벡터

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

방향미분계수가 다음과 같을 때 ∇f(a,b){ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b) 를 구하세요.

D(ı^+ȷ^)/2f(a,b)=32D(3ı^−4ȷ^)/5f(a,b)=5D_{(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})/\sqrt{2}}f(a,b)=3\sqrt{2}\qquad D_{(3\hat{\boldsymbol{\imath}}-4\hat{\boldsymbol{\jmath}})/5}f(a,b)=5

영어 원문 보기

Find ∇f(a,b){ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b) given the directional derivatives

D(ı^+ȷ^)/2f(a,b)=32D(3ı^−4ȷ^)/5f(a,b)=5D_{(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})/\sqrt{2}}f(a,b)=3\sqrt{2}\qquad D_{(3\hat{\boldsymbol{\imath}}-4\hat{\boldsymbol{\jmath}})/5}f(a,b)=5

정답·풀이 보기

∇f(a,b)=<α,β>{ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< \alpha ,\beta \right> 라 하자. 주어진 조건에서

<α,β>⋅<12,12>=32또는α+β=6<α,β>⋅<35,−45>=5또는3α−4β=25\begin{aligned} \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right>&=3\sqrt{2} & &\quad\text{또는}\quad & \alpha +\beta &=6\\ \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right>&=5 & &\quad\text{또는}\quad & 3\alpha -4\beta &=25 \end{aligned}

이다. 첫째 식의 4배를 둘째 식에 더하면 7α=497\alpha =49 이다. α=7\alpha =7 을 첫째 식에 대입하면 β=−1\beta =-1 이다. 따라서 ∇f(a,b)=<7,−1>{ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< 7,-1\right> 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote ∇f(a,b)=<α,β>{ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< \alpha ,\beta \right>. We are told that

<α,β>⋅<12,12>=32orα+β=6<α,β>⋅<35,−45>=5or3α−4β=25\begin{aligned} \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right>&=3\sqrt{2} & &\quad\text{or}\quad & \alpha +\beta &=6\\ \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right>&=5 & &\quad\text{or}\quad & 3\alpha -4\beta &=25 \end{aligned}

Adding 4 times the first equation to the second equation gives 7α=497\alpha =49. Substituting α=7\alpha =7 into the first equation gives β=−1\beta =-1. So ∇f(a,b)=<7,−1>{ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< 7,-1\right>.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 4번우리말 번역

점 (2,0)(2,0) 에서 함수 f(x,y)=xyf(x,y)=xy 가 주어진 변화율을 갖는 방향을 각각 구하세요.

(a) −1-1 (b) −2-2 (c) −3-3

다 풀었으면 정답 확인

f(x,y)f(x,y) 의 기울기벡터는 ∇f(x,y)=<y,x>{ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< y,x\right> 이다. 특히 점 (2,0)(2,0) 에서 ff 의 기울기벡터는 ∇f(2,0)=<0,2>{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0)=\left< 0,2 \right> 이다. 따라서 xx 축과 이루는 각이 θ\theta 인 방향, 즉 <cos⁡θ,sin⁡θ>\left< \cos\theta,\sin\theta\right> 방향으로의 변화율은

<cos⁡θ,sin⁡θ>⋅∇f(2,0)=<cos⁡θ,sin⁡θ>⋅<0,2>=2sin⁡θ\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0) =\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot\left< 0, 2\right> =2\sin\theta

이다.

(a) 변화율 −1-1 을 얻으려면

sin⁡θ=−12  ⟹  θ=−30∘, −150∘\sin\theta=-\frac{1}{2} \implies \theta=-30^\circ,\ -150^\circ

이어야 한다. 따라서 구하는 방향은

<cos⁡θ,sin⁡θ>=<±32,−12>\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left<\pm\frac{\sqrt{3}}{2} ,-\frac{1}{2} \right>

이다.

(b) 변화율 −2-2 를 얻으려면

sin⁡θ=−1  ⟹  θ=−90∘\sin\theta=-1 \implies \theta=-90^\circ

이어야 한다. 따라서 구하는 방향은

<cos⁡θ,sin⁡θ>=<0,−1>\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left< 0 ,-1 \right>

이다.

(c) 변화율 −3-3 을 얻으려면

sin⁡θ=−32\sin\theta=-\frac{3}{2}

이어야 한다.

모든 θ\theta 에 대해 −1≤sin⁡θ≤1-1\le\sin\theta\le 1 이므로 이를 만족하는 θ\theta 는 없다. 따라서 알맞은 방향이 없다!

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