방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 11번

CLP-3 · 2.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

위치 $(x,y,z)$ 에서의 기온 $T(x,y,z)$ 는 다음과 같이 주어진다.

$T(x,y,z) = 1 + x^2 + yz.$

(a) 새 한 마리가 $(2,1,3)$ 을 지나 $(4,3,4)$ 를 향해 속력 $2$ 로 날아가고 있다. 이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율을 구하세요. (b) 만약 새가 $(2,1,3)$ 을 지날 때 고도를 일정하게( $z = 3$ ) 유지하면서 동시에 기온도 $T = 8$ 로 일정하게 유지한다면, 새가 진행할 수 있는 두 방향은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

The air temperature $T(x,y,z)$ at a location $(x,y,z)$ is given by:

$T(x,y,z) = 1 + x^2 + yz.$

(a) A bird passes through $(2,1,3)$ travelling towards $(4,3,4)$ with speed $2$ . At what rate does the air temperature it experiences change at this instant? (b) If instead the bird maintains constant altitude ( $z = 3$ ) as it passes through $(2,1,3)$ while also keeping at a fixed air temperature, $T = 8$ , what are its two possible directions of travel?

정답·풀이 보기

$(2,1,3)$ 에서의 기온의 기울기 벡터(그레이디언트)는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) = \left< 2x\,,\,z\,,\,y \right>\Big|_{(x,y,z)=(2,1,3)} = \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \end{aligned}$

이다.

(a) 새는 방향 $\left< 4-2\,,\,3-1\,,\,4-3 \right> =\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ 으로 속력 $2$ 로 날아가므로 속도는 $\mathbf{v}=2\frac{\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>}{|\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>|} =\frac{2}{3} \left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ 이다. 이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) \cdot\mathbf{v} =\frac{2}{3} \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \cdot \left< 2\,,\,2\,,\,1\right> = 10 \end{aligned}$

이다.

(b) 고도를 일정하게 유지하려면(정지해 있지 않은 상태에서) 새의 진행 방향은 어떤 상수 $a$ , $b$ (둘 다 0은 아님)에 대해 $\left< a\,,\,b\,,\,0\right>$ 꼴이어야 한다. 기온을 일정하게 유지하려면 진행 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3)= \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right>$ 에 수직이어야 한다. 따라서 $a$ , $b$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} 0 = \left< a\,,\,b\,,\,0\right> \cdot \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> = 4a+3b \iff b=-\frac{4}{3}a \end{aligned}$

그러므로 진행 방향은 $\left< 3\,,-4\,,0\right>$ 에 0이 아닌 상수를 곱한 꼴이어야 한다. 이러한 단위벡터는 $\pm \frac{1}{5}\left< 3\,,-4\,,0\right>$ 두 개이다.

원본 교재 풀이(영어)

The temperature gradient at $(2,1,3)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) = \left< 2x\,,\,z\,,\,y \right>\Big|_{(x,y,z)=(2,1,3)} = \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \end{aligned}$

(a) The bird is flying in the direction $\left< 4-2\,,\,3-1\,,\,4-3 \right> =\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ at speed $2$ and so has velocity $\mathbf{v}=2\frac{\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>}{|\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>|} =\frac{2}{3} \left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ . The rate of change of air temperature experienced by the bird at that instant is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) \cdot\mathbf{v} =\frac{2}{3} \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \cdot \left< 2\,,\,2\,,\,1\right> = 10 \end{aligned}$

(b) To maintain constant altitude (while not being stationary), the bird's direction of travel has to be of the form $\left< a\,,\,b\,,\,0\right>$ , for some constants $a$ and $b$ , not both zero. To keep the air temperature fixed, its direction of travel has to be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3)= \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right>$ . So $a$ and $b$ have to obey

$\begin{aligned} 0 = \left< a\,,\,b\,,\,0\right> \cdot \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> = 4a+3b \iff b=-\frac{4}{3}a \end{aligned}$

and the direction of travel has to be a nonzero constant times $\left< 3\,,-4\,,0\right>$ . The two such unit vectors are $\pm \frac{1}{5}\left< 3\,,-4\,,0\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 12번우리말 번역

$f(x,y) = 2x^2 + 3xy + y^2$ 을 $x$ 와 $y$ 의 함수라 하자.

(a) 점 $P\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ 에서 $f(x,y)$ 의 최대 변화율을 구하세요. (b) 점 $P\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ 에서 $f(x,y)$ 의 방향미분계수가 $\frac{1}{5}$ 이 되는 방향을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 문제의 두 소문제 모두에서 $(x,y)=\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ 에서의 $f(x,y)$ 의 그래디언트가 필요하다. 따라서 먼저 이를 구한다.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=4x+3y\qquad & f_x(1,-4/3)&=0 \\ f_y(x,y)&=3x+2y\qquad & f_y(1,-4/3)&=\frac{1}{3} \end{aligned}$

이므로 ${ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\frac{4}{3}\right) =\left< 0,\frac{1}{3}\right>$ 이다.

(a) $P$ 에서 $f$ 의 최대 변화율은

$\begin{aligned} \left|{ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right)\right| =\left|\left< 0,\tfrac{1}{3}\right>\right| =\tfrac{1}{3} \end{aligned}$

이다.

(b) $\left< a,b\right>$ 가 단위벡터이면, $P$ 에서 $\left< a,b\right>$ 방향으로의 $f$ 의 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\left< a,b\right>}f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right) ={ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right)\cdot \left< a,b\right> =\left< 0,\tfrac{1}{3}\right>\cdot \left< a,b\right> =\tfrac{b}{3} \end{aligned}$

이다.

따라서 $\frac{b}{3}=\frac{1}{5}$ 이어야 하므로 $b=\frac{3}{5}$ 이다. $\left< a,b\right>$ 가 단위벡터가 되려면 다음도 만족해야 한다.

$\begin{aligned} a^2+b^2=1 \iff a^2=1-b^2=1-\frac{3^2}{5^2}=\frac{16}{25} \iff a=\pm\frac{4}{5} \end{aligned}$

따라서 가능한 방향은 $\left< \pm\frac{4}{5}\,,\,\frac{3}{5}\right>$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류