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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

방향도함수와 기울기벡터

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

xyxy–평면 위의 한 점에서의 온도 T(x,y)T(x, y) 가 다음과 같이 주어져 있다.

T(x,y)=yex2T(x, y) = ye^{x^2}

벌레 한 마리가 곡선 y=x2y = x^2 을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 0.010.01m/sec 의 속력으로 움직인다. 이 벌레는 T(x,y)T(x, y) 를 계속 측정한다. 벌레가 점 (1,1)(1, 1) 을 지날 때 TT 의 변화율은 얼마인지 구하여라.

영어 원문 보기

The temperature T(x,y)T(x, y) at a point of the xyxy–plane is given by

T(x,y)=yex2T(x, y) = ye^{x^2}

A bug travels from left to right along the curve y=x2y = x^2 at a speed of 0.010.01m/sec. The bug monitors T(x,y)T(x, y) continuously. What is the rate of change of TT as the bug passes through the point (1,1)(1, 1)?

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(1,1)(1,1) 에서 y=x2y=x^2 의 기울기는 ddxx2∣x=1=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2\Big|_{x=1}=2 이다. 따라서 벌레가 움직이는 방향의 단위벡터는 <1,2>5\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}} 이고, 벌레의 속도 벡터는 v=0.01<1,2>5\mathbf{v}=0.01\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}} 이다.

(1,1)(1,1) 에서 온도의 그래디언트(기울기 벡터)는

∇T(1,1)=<2xyex2 , ex2>∣(x.y)=(1,1)=<2e , e>\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1) = \left< 2xy e^{x^2}\,,\,e^{x^2}\right>\Big|_{(x.y)=(1,1)} =\left< 2e\,,\,e\right> \end{aligned}

이고, 벌레가 점 (1,1)(1, 1) 을 지날 때 느끼는 TT 의 (단위 시간당) 변화율은

∇T(1,1)⋅v=0.015<2e , e>⋅<1,2>=0.04e5\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot \mathbf{v} =\frac{0.01}{\sqrt{5}} \left< 2e\,,\,e\right>\cdot \left< 1,2\right> =\frac{0.04 e}{\sqrt{5}} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of y=x2y=x^2 at (1,1)(1,1) is ddxx2∣x=1=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2\Big|_{x=1}=2. So a unit vector in the bug's direction of motion is <1,2>5\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}} and the bug's velocity vector is v=0.01<1,2>5\mathbf{v}=0.01\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}.

The temperature gradient at (1,1)(1,1) is

∇T(1,1)=<2xyex2 , ex2>∣(x.y)=(1,1)=<2e , e>\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1) = \left< 2xy e^{x^2}\,,\,e^{x^2}\right>\Big|_{(x.y)=(1,1)} =\left< 2e\,,\,e\right> \end{aligned}

and the rate of change of TT (per unit time) that the bug feels as it passes through the point (1,1)(1, 1) is

∇T(1,1)⋅v=0.015<2e , e>⋅<1,2>=0.04e5\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot \mathbf{v} =\frac{0.01}{\sqrt{5}} \left< 2e\,,\,e\right>\cdot \left< 1,2\right> =\frac{0.04 e}{\sqrt{5}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 3번우리말 번역

주어진 점에서 주어진 방향으로 주어진 함수의 변화율을 구하세요.

(a) f(x,y)=3x−4yf(x,y)=3x-4y, 점 (0,2)(0,2), 방향 −2ı^-2\hat{\boldsymbol{\imath}}. (b) f(x,y,z)=x−1+y−1+z−1f(x,y,z)=x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}, 점 (2,−3,4)(2,-3,4), 방향 ı^+ȷ^+k^\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}.

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(a)
(b)
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(a) ff 의 기울기벡터는 ∇f(x,y)=<3,−4>{ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< 3,-4\right> 이다. 따라서 구하는 변화율은

<3,−4>⋅<−2,0>∣<−2,0>∣=−3\left< 3,-4\right>\cdot\frac{\left< -2,0\right>}{|\left< -2,0\right>|}=-3

(b) ff 의 기울기벡터는 ∇f(x,y,z)=<−x−2,−y−2,−z−2>{ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y,z)=\left< -x^{-2},-y^{-2},-z^{-2}\right> 이다. 특히 점 (2,−3,4)(2,-3,4) 에서 ff 의 기울기벡터는 ∇f(2,−3,4)=<−14,−19,−116>{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,-3,4)=\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right> 이다. 따라서 구하는 변화율은

<−14,−19,−116>⋅<1,1,1>3=−611443≈−0.2446\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}= -\frac{61}{144\sqrt{3}}\approx-0.2446

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