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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

방향도함수와 기울기벡터

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

f(x,y,z)=(2x+y)e−(x2+y2+z2)g(x,y,z)=xz+y2+yz+z2\begin{aligned} f(x, y, z) &= (2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} \\ g(x, y, z) &= xz + y^2 + yz + z^2 \end{aligned}

라 하자.

(a) (0,1,−1)(0,1,-1) 에서 ff 와 gg 의 그래디언트를 구하세요. (b) (0,1,−1)(0,1,-1) 에 있는 새가 f(x,y,z)f(x, y, z) 가 가장 빠르게 증가하는 방향으로 속력 66 으로 날아간다. 새가 (0,1,−1)(0,1,-1) 을 지날 때, 새가 보기에 g(x,y,z)g(x, y, z) 는 얼마나 빠르게 변하는 것으로 보이는지 구하세요. (c) (0,1,−1)(0,1,-1) 에 있는 박쥐가 f(x,y,z)f (x, y, z) 와 g(x,y,z)g(x, y, z) 가 변하지 않는 방향으로, 그러나 zz 가 증가하도록 날아간다. 이 방향의 벡터를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Let

f(x,y,z)=(2x+y)e−(x2+y2+z2)g(x,y,z)=xz+y2+yz+z2\begin{aligned} f(x, y, z) &= (2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} \\ g(x, y, z) &= xz + y^2 + yz + z^2 \end{aligned}

(a) Find the gradients of ff and gg at (0,1,−1)(0,1,-1). (b) A bird at (0,1,−1)(0,1,-1) flies at speed 66 in the direction in which f(x,y,z)f(x, y, z) increases most rapidly. As it passes through (0,1,−1)(0,1,-1), how quickly does g(x,y,z)g(x, y, z) appear (to the bird) to be changing? (c) A bat at (0,1,−1)(0,1,-1) flies in the direction in which f(x,y,z)f (x, y, z) and g(x,y,z)g(x, y, z) do not change, but zz increases. Find a vector in this direction.

정답·풀이 보기

(a) ff 와 gg 의 1계 편도함수는 다음과 같다.

∂f∂x(x,y,z)=2e−(x2+y2+z2)−2x(2x+y)e−(x2+y2+z2)  ⟹  ∂f∂x(0,1,−1)=2e−2∂f∂y(x,y,z)=e−(x2+y2+z2)−2y(2x+y)e−(x2+y2+z2)  ⟹  ∂f∂y(0,1,−1)=−e−2∂f∂z(x,y,z)=−2z(2x+y)e−(x2+y2+z2)  ⟹  ∂f∂z(0,1,−1)=2e−2∂g∂x(x,y,z)=z  ⟹  ∂g∂x(0,1,−1)=−1∂g∂y(x,y,z)=2y+z  ⟹  ∂g∂y(0,1,−1)=1∂g∂z(x,y,z)=x+y+2z  ⟹  ∂g∂z(0,1,−1)=−1\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&= 2e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2x(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial x}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&= e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2y(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial y}(0,1,-1)&=-e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&= -2z(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial z}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)&= z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial x}(0,1,-1)&=-1 \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)&= 2y+z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial y}(0,1,-1)&= 1 \\ \frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)&= x+y+2z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial z}(0,1,-1)&=-1 \end{aligned}

따라서 그래디언트는 다음과 같다.

∇f(0,1,−1)=e−2<2,−1,2>∇g(0,1,−1)=<−1,1,−1>{ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>

(b) 새의 속도는 ∇f(0,1,−1){ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) 방향의 길이가 66 인 벡터이므로

v=6<2,−1,2>∣<2,−1,2>∣=<4,−2,4>\mathbf{v}= 6\frac{\left< 2,-1,2\right>}{|\left< 2,-1,2\right>|} =\left< 4,-2,4\right>

이다. 새가 보는 gg 의 (단위 시간당) 변화율은

∇g(0,1,−1)⋅v=<−1,1,−1>⋅<4,−2,4>=−10\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) \cdot \mathbf{v} =\left< -1,1,-1\right> \cdot \left< 4,-2,4\right> = -10 \end{aligned}

이다.

(c) 박쥐가 날아가는 방향은 ∇f(0,1,−1)=e−2<2,−1,2>{ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right> 과 ∇g(0,1,−1)=<−1,1,−1>{ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right> 모두에 수직이어야 한다. 0 이 아닌 상수에

<2,−1,2>×<−1,1,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^2−12−11−1]=<−1 , 0 , 1>\begin{aligned} \left< 2,-1,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

을 곱한 벡터는 ∇f(0,1,−1){ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) 과 ∇g(0,1,−1){ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) 모두에 수직이다. 또한 박쥐가 날아가는 방향은 zz 성분이 양수이어야 한다. 따라서 (엄밀하게) 양의 상수에 <−1 , 0 , 1>\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right> 을 곱한 벡터이면 어떤 것이든 좋다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The first order partial derivatives of ff and gg are

∂f∂x(x,y,z)=2e−(x2+y2+z2)−2x(2x+y)e−(x2+y2+z2)  ⟹  ∂f∂x(0,1,−1)=2e−2∂f∂y(x,y,z)=e−(x2+y2+z2)−2y(2x+y)e−(x2+y2+z2)  ⟹  ∂f∂y(0,1,−1)=−e−2∂f∂z(x,y,z)=−2z(2x+y)e−(x2+y2+z2)  ⟹  ∂f∂z(0,1,−1)=2e−2∂g∂x(x,y,z)=z  ⟹  ∂g∂x(0,1,−1)=−1∂g∂y(x,y,z)=2y+z  ⟹  ∂g∂y(0,1,−1)=1∂g∂z(x,y,z)=x+y+2z  ⟹  ∂g∂z(0,1,−1)=−1\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&= 2e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2x(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial x}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&= e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2y(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial y}(0,1,-1)&=-e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&= -2z(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial z}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)&= z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial x}(0,1,-1)&=-1 \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)&= 2y+z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial y}(0,1,-1)&= 1 \\ \frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)&= x+y+2z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial z}(0,1,-1)&=-1 \end{aligned}

so that gradients are

∇f(0,1,−1)=e−2<2,−1,2>∇g(0,1,−1)=<−1,1,−1>{ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>

(b) The bird's velocity is the vector of length 66 in the direction of ∇f(0,1,−1){ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1), which is

v=6<2,−1,2>∣<2,−1,2>∣=<4,−2,4>\mathbf{v}= 6\frac{\left< 2,-1,2\right>}{|\left< 2,-1,2\right>|} =\left< 4,-2,4\right>

The rate of change of gg (per unit time) seen by the bird is

∇g(0,1,−1)⋅v=<−1,1,−1>⋅<4,−2,4>=−10\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) \cdot \mathbf{v} =\left< -1,1,-1\right> \cdot \left< 4,-2,4\right> = -10 \end{aligned}

(c) The direction of flight for the bat has to be perpendicular to both ∇f(0,1,−1)=e−2<2,−1,2>{ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right> and ∇g(0,1,−1)=<−1,1,−1>{ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>. Any vector which is a non zero constant times

<2,−1,2>×<−1,1,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^2−12−11−1]=<−1 , 0 , 1>\begin{aligned} \left< 2,-1,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

is perpendicular to both ∇f(0,1,−1){ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) and ∇g(0,1,−1){ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1). In addition, the direction of flight for the bat must have a positive zz–component. So any vector which is a (strictly) positive constant times <−1 , 0 , 1>\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right> is fine.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 1번우리말 번역

점 (0,1,1)(0,1,1) 에서 f(x,y,z)=exyzf(x,y,z) = e^{xyz} 의 <0,1,1>\left< 0,1,1\right> 방향의 방향미분계수를 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

임의의 점 (x,y,z)(x,y,z) 에서의 편도함수와 구하려는 점 (0,1,1)(0,1,1) 에서의 편미분계수는 다음과 같다.

fx(x,y,z)=yzexyzfx(0,1,1)=1fy(x,y,z)=xzexyzfy(0,1,1)=0fz(x,y,z)=xyexyzfz(0,1,1)=0\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=yz e^{xyz}\qquad & f_x(0,1,1)&= 1 \\ f_y(x,y,z)&=xz e^{xyz}\qquad & f_y(0,1,1)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&=xy e^{xyz}\qquad & f_z(0,1,1)&= 0 \end{aligned}

따라서 ∇f(0,1,1)=<1,0,0>{ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right> 이고, 구하는 방향미분계수는 다음과 같다.

D<0,1,1>2f(0,1,1)=<1,0,0>⋅<0,1,1>2=0\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}}}f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>\cdot\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}} =0 \end{aligned}

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