방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 20번

CLP-3 · 2.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

언덕의 모양이 $z = 1000 - 0.02x^2 - 0.01y^2$ 으로 주어져 있다. $x$ –축은 동쪽을, $y$ –축은 북쪽을 향하고, 모든 거리의 단위는 미터(m)라고 하자.

(a) 점 $(0, 100, 900)$ 에서 가장 가파르게 올라가는 방향은 어느 쪽인가요? (답은 나침반의 방위로 나타내세요.) (b) (a)의 방향으로 점 $(0, 100, 900)$ 에서 언덕의 기울기를 구하세요. (c) 이 언덕에서 가장 가파르게 내려가는 방향으로 자전거를 속력 $5$ m/s 로 타고 갈 때, 점 (0, 100, 900) 을 지나는 순간 (시간에 대한) 고도의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

The shape of a hill is given by $z = 1000 - 0.02x^2 - 0.01y^2$ . Assume that the $x$ –axis is pointing East, and the $y$ –axis is pointing North, and all distances are in metres.

(a) What is the direction of the steepest ascent at the point $(0, 100, 900)$ ? (The answer should be in terms of directions of the compass). (b) What is the slope of the hill at the point $(0, 100, 900)$ in the direction from (a)? (c) If you ride a bicycle on this hill in the direction of the steepest descent at $5$ m/s, what is the rate of change of your altitude (with respect to time) as you pass through the point (0, 100, 900)?

정답·풀이 보기

$h(x,y) = 1000 -0.02\,x^2-0.01 y^2$ 으로 놓으면 언덕은 $z=h(x,y)$ 이다.

(a) 점 $(0,100,900)$ 에서 가장 가파르게 올라가는 방향은 $(0,100)$ 에서 $h(x,y)$ 의 증가율이 최대인 방향이다. 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100) = \left< 0\,,\, -0.01(2)(100)\right> = \left< 0\,,\,-2\right>$ 이다. 나침반의 방위로는 남쪽이다.

(b) 그곳에서 언덕의 기울기는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot\left< 0,-1\right> =-\frac{\partial h}{\partial y}(0,100) = 2 \end{aligned}$

언덕 위에 있으므로 $z(t) = 1000 -0.02\,x(t)^2-0.01 y(t)^2$ 이고, 따라서 $z'(t) = -0.04\,x(t)x'(t)-0.02 y(t)y'(t)$ 이다.
가장 가파르게 내려가는 방향으로 가고 있으므로 $x'(0)=0$ 이고 $y'(0)>0$ 이다.
속력 $5$ 로 움직이므로 $x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2=25$ 이다.

$x(0)$ 와 $y(0)=100$ 이므로 $z'(0)= -0.02(100)y'(0) = -2y'(0)$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} 25 = x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2 =5\ y'(0)^2 &\implies y'(0) = \sqrt{5} \\ &\implies \left< x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0) \right> =\left< 0\,,\, \sqrt{5}\,,\, -2\sqrt{5}\right> \end{aligned}$

이고, 고도의 변화율은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} h\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\Big|_{t=0} &={ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot \left< x'(0)\,,\,y'(0) \right> =\left< 0\,,\,-2\right> \cdot \left< 0\,,\, \sqrt{5}\right> =-2\sqrt{5} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Write $h(x,y) = 1000 -0.02\,x^2-0.01 y^2$ so that the hill is $z=h(x,y)$ .

(a) The direction of steepest ascent at $(0,100,900)$ is the direction of maximum rate of increase of $h(x,y)$ at $(0,100)$ which is ${ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100) = \left< 0\,,\, -0.01(2)(100)\right> = \left< 0\,,\,-2\right>$ . In compass directions that is South.

(b) The slope of the hill there is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot\left< 0,-1\right> =-\frac{\partial h}{\partial y}(0,100) = 2 \end{aligned}$

(c) Denote by $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ your position at time $t$ and suppose that you are at $(0,100,900)$ at time $t=0$ . Then we know

$z(t) = 1000 -0.02\,x(t)^2-0.01 y(t)^2$ , so that $z'(t) = -0.04\,x(t)x'(t)-0.02 y(t)y'(t)$ , since you are on the hill and
$x'(0)=0$ and $y'(0)>0$ since you are going in the direction of steepest descent and
$x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2=25$ since you are moving at speed $5$ .

Since $x(0)$ and $y(0)=100$ , we have $z'(0)= -0.02(100)y'(0) = -2y'(0)$ . So

and your rate of change of altitude is

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.6절 · 28번우리말 번역

다음 연습문제에서 $P$ 에서 $u$ 방향으로의 함수의 미분계수를 구하세요.

$f(x,y)=\ln (5x+4y),\begin{array}{cc}P(3,9), & u=6i+8j\end{array}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{31}{255}$

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류