방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 26번

CLP-3 · 2.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

상수 $k$ 가 있어서 $u=k/v$ 일 때, $u$ 는 $v$ 에 반비례한다고 합니다. 금속 공 안의 온도 $T$ 가 공의 중심으로부터의 거리에 반비례한다고 합시다. 여기서 공의 중심은 원점으로 잡습니다. 점 $(1,2,2)$ 에서의 온도는 $120^\circ$ 입니다.

(a) 비례상수를 구하세요. (b) $(1,2,2)$ 에서 점 $(2,1,3)$ 을 향하는 방향으로의 $T$ 의 변화율을 구하세요. (c) 공 안의 대부분의 점에서 온도가 가장 크게 증가하는 방향은 원점을 향하는 방향임을 보이세요.

영어 원문 보기

We say that $u$ is inversely proportional to $v$ if there is a constant $k$ so that $u=k/v$ . Suppose that the temperature $T$ in a metal ball is inversely proportional to the distance from the centre of the ball, which we take to be the origin. The temperature at the point $(1,2,2)$ is $120^\circ$ .

(a) Find the constant of proportionality. (b) Find the rate of change of $T$ at $(1,2,2)$ in the direction towards the point $(2,1,3)$ . (c) Show that at most points in the ball, the direction of greatest increase is towards the origin.

정답·풀이 보기

(a) 어떤 상수 $k$ 에 대하여 $T(x,y,z)=\frac{k}{|\left< x,y,z\right>|} =\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 이고,

$120=T(1,2,2)=\frac{k}{|\left< 1,2,2\right>|} \implies k=120\times\sqrt{1+2^2+2^2} = 360$

이다.

(b) $(1,2,2)$ 에서 $(2,1,3)$ 으로 향하는 (단위)방향은 $\mathbf{d}=\frac{\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>}{|\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>|} =\frac{\left< 1,-1,1\right>}{|\left< 1,-1,1\right>|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,-1,1\right>$ 이다. 따라서 구하는 온도의 변화율은

$\begin{aligned} D_{\mathbf{d}} T(1,2,2) &={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,2)\cdot\mathbf{d} =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}\Big|_{\left< 1,2,2\right>}\cdot\mathbf{d} \\ &=-360\frac{\left< 1,2,2\right>}{27}\cdot\frac{\left< 1,-1,1\right>}{\sqrt{3}} =-\frac{40}{3\sqrt{3}}\approx-7.70 \end{aligned}$

이고, 단위 거리당 도이다.

(c) $(x,y,z)$ 에서 온도가 가장 크게 증가하는 방향은 $(x,y,z)$ 에서의 온도 기울기(그레이디언트)의 방향이며, 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}$ 이고, 반지름 벡터와 반대 방향을 가리킨다. 즉, 원점을 향한다. 이 논증은 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 에서만 성립하지 않는데, 그 점에서는 기울기뿐 아니라 $T(x,y,z)$ 도 정의되지 않기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that $T(x,y,z)=\frac{k}{|\left< x,y,z\right>|} =\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ for some constant $k$ and that

$120=T(1,2,2)=\frac{k}{|\left< 1,2,2\right>|} \implies k=120\times\sqrt{1+2^2+2^2} = 360$

(b) The (unit) direction from $(1,2,2)$ to $(2,1,3)$ is $\mathbf{d}=\frac{\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>}{|\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>|} =\frac{\left< 1,-1,1\right>}{|\left< 1,-1,1\right>|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,-1,1\right>$ . The desired rate of change of temperature is

degrees per unit distance.

(c) At $(x,y,z)$ , the direction of greatest increase is in the direction of the temperature gradient at $(x,y,z)$ , which is ${ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}$ and which points opposite to the radius vector. That is, it points towards the origin. This argument only fails at $(x,y,z)=(0,0,0)$ , where the gradient, and indeed $T(x,y,z)$ , is not defined.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 29번우리말 번역

함수 $f(x,y,z) = x^2 + \cos(yz)$ 를 생각하세요.

(a) 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 $f$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향을 구하세요. (b) 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 곡면

$S = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y,z) = 1\ \big\}$

에 접하는 평면 $T$ 의 방정식을 구하세요. (c) $T$ 와 점 $(0, 1, 0)$ 사이의 거리를 구하세요. (d) 평면 $T$ 와 평면

$P = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x + z = 0\ \big\}$

가 이루는 각을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f$ 의 1계 편도함수를 임의의 점 $(x,y,z)$ 에서와 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 각각 구하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&= 2x\qquad & f_x(1, 0, \pi/2)&= 2 \\ f_y(x,y,z)&= -z\sin(yz)\qquad & f_y(1, 0, \pi/2)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&= -y\sin(yz)\qquad & f_z(1, 0, \pi/2)&= 0 \end{aligned}$

(a) $f$ 의 증가율이 가장 큰 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ 의 방향이다. 그 방향의 단위벡터는 $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다.

(b) 기울기 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ 는 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 곡면 $f=1$ 의 법선벡터이다. 따라서 구하는 접평면은

$\begin{aligned} \left< 2,0,0\right> \cdot \left< x-1\,,\,y-0\,,\,z-\pi/2\right>=0\qquad\text{또는}\qquad x=1 \end{aligned}$

이다.

(c) 점 $(0,1,0)$ 에서 $T$ 위의 점 $(1,1,0)$ 으로 향하는 벡터는 $\left< 1,0,0\right>$ 이고, 이 벡터는 $T$ 에 수직이다. 따라서 $(1,1,0)$ 은 $T$ 위의 점 중 $(0,1,0)$ 에 가장 가까운 점이고, $(0,1,0)$ 에서 $T$ 까지의 거리는 $|\left< 1,0,0\right>|=1$ 이다.

(d) 벡터 $\left< 1,0,1\right>$ 은 평면 $x+z=0$ 에 수직이다. 따라서 두 평면 $T$ 와 $x+z=0$ 이 이루는 각은 두 벡터 $\left< 1,0,0\right>$ 과 $\left< 1,0,1\right>$ 이 이루는 각 $\theta$ 와 같고, 이 각은 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} & |\left< 1,0,0\right>| \ |\left< 1,0,1\right>|\ \cos\theta =|\left< 1,0,0\right>\cdot\left< 1,0,1\right>| =1 \\ &\implies \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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