편미분방정식 맛보기 연습문제 — CLP-3 · 2.8절 · 2번

CLP-3 · 2.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

(a) 편미분방정식

$u_x=0$

을 만족하는 모든 함수 $u(x,y)$ 를 구하세요. (b) $f(x)$ 를 주어진 함수라 하자. 편미분방정식

$u_x(x,y)= f(x)$

을 만족하는 모든 함수 $u(x,y)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find all functions $u(x,y)$ that obey the partial differential equation

$u_x=0$ (b) Let $f(x)$ be a given function. Find all functions $u(x,y)$ that obey the partial differential equation

$u_x(x,y)= f(x)$

정답·풀이 보기

(a) 임의의 $y_0$ 을 고정하고 $v(x)=u(x,y_0)$ 라 하자. 그러면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = 0 \end{aligned}$

이다. 따라서 각각의 고정된 $y_0$ 에 대해 $x$ 의 함수인 $v(x)=u(x,y_0)$ 는 상수이어야 한다. 이 상수는 $y_0$ 을 어떻게 택하느냐에 따라 달라질 수 있다. 따라서 $u(x,y_0) = C(y_0)$ 이며, $C(y_0)$ 은 $y_0$ 에만 의존하고 $x$ 에는 의존하지 않는다. $y_0$ 을 다시 $y$ 로 바꾸어 쓰면, $u(x,y)=C(y)$ 이고 $C(y)$ 는 변수 $y$ 하나만의 임의의 함수이다.

(b) 임의의 $y_0$ 을 고정하고 $v(x)=u(x,y_0)$ 라 하자. 그러면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = f(x) \end{aligned}$

이다. 말로 하면, $v(x)$ 는 도함수가 $f(x)$ 이어야 하고, 즉 $f(x)$ 의 부정적분이어야 한다. 따라서 $F(x)$ 가 도함수가 $f(x)$ 인 임의의 함수, 즉 $F(x)$ 가 $f(x)$ 의 임의의 부정적분이면, 각각의 고정된 $y_0$ 에 대해 $v(x)=u(x,y_0) = F(x) +C$ 이고, 여기서 $C$ 는 상수이다. 이 상수는 $y_0$ 을 어떻게 택하느냐에 따라 달라질 수 있다. 따라서 $u(x,y_0) = F(x)+ C(y_0)$ 이며, $C(y_0)$ 은 $y_0$ 에만 의존하고 $x$ 에는 의존하지 않는다. $y_0$ 을 다시 $y$ 로 바꾸어 쓰면, $u(x,y)=F(x) + C(y)$ 이고 $F(x)$ 는 $f(x)$ 의 임의의 부정적분, $C(y)$ 는 변수 $y$ 하나만의 임의의 함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Fix any $y_0$ and set $v(x)=u(x,y_0)$ . Then

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = 0 \end{aligned}$

So, for each fixed $y_0$ , $v(x)=u(x,y_0)$ , which is a function of $x$ , has to be a constant. The constant may be different for each different choice of $y_0$ . So $u(x,y_0) = C(y_0)$ with $C(y_0)$ depending only on $y_0$ , not on $x$ . Or, renaming $y_0$ back to $y$ , $u(x,y)=C(y)$ with $C(y)$ being any function of the single variable $y$ .

(b) Fix any $y_0$ and set $v(x)=u(x,y_0)$ . Then

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = f(x) \end{aligned}$

In words, $v(x)$ has to have derivative $f(x)$ , i.e. be an antiderivative of $f(x)$ . So if $F(x)$ is any function whose derivative is $f(x)$ , i.e. if $F(x)$ is any antiderivative of $f(x)$ , then, for each fixed $y_0$ , $v(x)=u(x,y_0) = F(x) +C$ , with $C$ being a constant. The constant may be different for each different choice of $y_0$ . So $u(x,y_0) = F(x)+ C(y_0)$ with $C(y_0)$ depending only on $y_0$ , not on $x$ . Or, renaming $y_0$ back to $y$ , $u(x,y)=F(x) + C(y)$ with $F(x)$ being any antiderivative of $f(x)$ and $C(y)$ being any function of the single variable $y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.8절 · 14번우리말 번역

(a) $u(x,y)$ 가 편미분방정식 $3u_x(x,y) + 6u_y(x,y)=u(x,y)$ 를 만족한다고 하자. $v(X,Y) = u(X, Y+2X)$ 로 정의할 때, $v$ 가 만족하는 편미분방정식을 구하세요. (b) $u(x,y)$ 가 편미분방정식 $xu_x(x,y) + yu_y(x,y)=u(x,y)$ 를 만족한다고 하자. $v(X,Y) = u(X, Xe^Y)$ 로 정의할 때, $v$ 가 만족하는 편미분방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $u(x,y)$ 가 편미분방정식

$3u_x(x,y) + 6u_y(x,y)=u(x,y)$

을 만족한다고 하자.

$v(X,Y) = u(X, Y+2X)$ 로 정의하자. 그러면 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} v_X(X,Y)&=\frac{\partial }{\partial X}\big[ u(X, Y+2X)\big] \\ &=u_x(X, Y+2X) +2u_y(X, Y+2X) \\ &=\frac{1}{3}\big\{3u_x(X, Y+2X) + 6u_y(X, Y+2X)\big\} \\ &=\frac{1}{3} u(X, Y+2X) \\ &=\frac{1}{3} v(X,Y) \end{aligned}$

이다.

(b) $v(X,Y) = u(X, Xe^Y)$ 로 정의하자. 그러면 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} v_X(X,Y)&=\frac{\partial }{\partial X}\big[ u(X, Xe^Y)\big] \\ &=u_x(X, Xe^Y) +e^Yu_y(X, Xe^Y) \end{aligned}$

이다.

이제 $xu_x(x,y) + yu_y(x,y)=u(x,y)$ 이면, $x=X$ , $y=Xe^Y$ 에서의 값을 생각할 때

$Xu_x(X, Xe^Y) + Xe^Yu_y(X, Xe^Y)=u(X, Xe^Y)$

임에 주목하자.

따라서

$\begin{aligned} v_X(X,Y) &=\frac{1}{X}\big\{X u_x(X, Xe^Y) +X e^Y u_y(X, Xe^Y) \big\} \\ &=\frac{1}{X} u(X, Xe^Y) \\ &=\frac{1}{X} v(X,Y) \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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