편미분방정식 맛보기 연습문제 — CLP-3 · 2.8절 · 4번

CLP-3 · 2.8절 · 4번대학 수준우리말 번역

$u(x,t) = e^{t+ax} + e^{t-ax}$ 라 하자. 여기서 $a$ 는 상수이다. $5u_t = u_{xx} + u$ 를 만족시키는 $a$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $u(x,t) = e^{t+ax} + e^{t-ax}$ where $a$ is a constant. Find $a$ such that $5u_t = u_{xx} + u$ .

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$u=u(x,t) = e^{t+ax} + e^{t-ax}$ 일 때, 주어진 편미분방정식의 양변을 각각 계산한다. 다음이 성립하므로

$\begin{aligned} u(x,t) &= e^{t+ax} + e^{t-ax} \\ u_t(x,t) &= e^{t+ax} + e^{t-ax} \\ u_x(x,t) &= ae^{t+ax} - ae^{t-ax}\qquad & u_{xx}(x,t) &= a^2e^{t+ax} + a^2e^{t-ax} \end{aligned}$

편미분방정식의 좌변은

$5u_t = 5e^{t+ax} + 5e^{t-ax}$

이고, 편미분방정식의 우변은

$\begin{aligned} u_{xx} + u &=\big(a^2e^{t+ax} + a^2e^{t-ax}\big)+\big(e^{t+ax} + e^{t-ax}\big) \\ &= (a^2+1)e^{t+ax} + (a^2+1)e^{t-ax} \end{aligned}$

이다. 좌변과 우변이 같을 필요충분조건은

$\begin{aligned} 5=(a^2+1) \iff a^2=4 \iff a=\pm 2 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We evaluate both sides of the given PDE with $u=u(x,t) = e^{t+ax} + e^{t-ax}$ . Since

$\begin{aligned} u(x,t) &= e^{t+ax} + e^{t-ax} \\ u_t(x,t) &= e^{t+ax} + e^{t-ax} \\ u_x(x,t) &= ae^{t+ax} - ae^{t-ax}\qquad & u_{xx}(x,t) &= a^2e^{t+ax} + a^2e^{t-ax} \end{aligned}$

the left hand side of the PDE is

$5u_t = 5e^{t+ax} + 5e^{t-ax}$

and the right hand side of the PDE is

$\begin{aligned} u_{xx} + u &=\big(a^2e^{t+ax} + a^2e^{t-ax}\big)+\big(e^{t+ax} + e^{t-ax}\big) \\ &= (a^2+1)e^{t+ax} + (a^2+1)e^{t-ax} \end{aligned}$

The left and right hand sides are equal if and only if

$\begin{aligned} 5=(a^2+1) \iff a^2=4 \iff a=\pm 2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.8절 · 5번우리말 번역

$u(x,y,z) = e^{3x+4y}\sin(az)$ 라 하자. 여기서 $a$ 는 상수이다.

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$

이 되도록 하는 $a$ 를 모두 구하세요.

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다 풀었으면 정답 확인

$u=u(x,t) = e^{3x+4y}\sin(az)$ 일 때, $u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}$ 를 계산한다. 다음과 같으므로

$\begin{aligned} u(x,y,z) &= e^{3x+4y}\sin(az)\\ u_x(x,y,z) &= 3\,e^{3x+4y}\sin(az)\qquad & u_{xx}(x,y,z) &= 9\,e^{3x+4y}\sin(az) \\ u_y(x,y,z) &= 4\,e^{3x+4y}\sin(az)\qquad & u_{yy}(x,y,z) &= 16\,e^{3x+4y}\sin(az) \\ u_z(x,y,z) &= a\,e^{3x+4y}\cos(az)\qquad & u_{zz}(x,y,z) &= -a^2\,e^{3x+4y}\sin(az) \end{aligned}$

다음을 얻는다.

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} = \big(9+16-a^2) e^{3x+4y}\sin(az)$

이 값이 (모든 $x$ , $y$ , $z$ 에 대해) 0 일 필요충분조건은

$\begin{aligned} a^2=9+16=25 \iff a=\pm 5 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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