편미분방정식 맛보기 연습문제 — CLP-3 · 2.8절 · 6번

CLP-3 · 2.8절 · 6번대학 수준우리말 번역

$u(x,t) = \sin(at)\,\cos(bx)$ 라 하자. 여기서 $a$ 와 $b$ 는 상수이다. $u_{tt} = u_{xx}$ 를 만족하는 $a$ 와 $b$ 를 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Let $u(x,t) = \sin(at)\,\cos(bx)$ where $a$ and $b$ are constants. Find all $a$ 's and $b$ 's such that $u_{tt} = u_{xx}$ .

정답·풀이 보기

$u=u(x,t)=\sin(at)\,\cos(bx)$ 일 때 주어진 편미분방정식의 양변을 각각 계산한다. 다음이 성립하므로

$\begin{aligned} u(x,t) &= \sin(at)\,\cos(bx) \\ u_t(x,t) &= a\,\cos(at)\,\cos(bx) \qquad & u_{tt}(x,t) &= -a^2\,\sin(at)\,\cos(bx) \\ u_x(x,t) &= -b\,\sin(at)\,\sin(bx) \qquad & u_{xx}(x,t) &= -b^2\sin(at)\,\cos(bx) \end{aligned}$

편미분방정식의 좌변은

$u_{tt} = -a^2\,\sin(at)\,\cos(bx)$

이고, 편미분방정식의 우변은

$\begin{aligned} u_{xx} &=-b^2\,\sin(at)\,\cos(bx) \end{aligned}$

이다. 좌변과 우변이 같을 필요충분조건은

$\begin{aligned} a^2=b^2 \iff a=\pm b \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We evaluate both sides of the given PDE with $u=u(x,t)=\sin(at)\,\cos(bx)$ . Since

the left hand side of the PDE is

$u_{tt} = -a^2\,\sin(at)\,\cos(bx)$

and the right hand side of the PDE is

$\begin{aligned} u_{xx} &=-b^2\,\sin(at)\,\cos(bx) \end{aligned}$

The left and right hand sides are equal if and only if

$\begin{aligned} a^2=b^2 \iff a=\pm b \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.8절 · 7번우리말 번역

$F(u)$ 를 한 변수의 임의의 미분가능한 함수라 하자. $z(x,y)=F\big(x^2+y^2\big)$ 으로 정의한다. 편미분방정식

$y\frac{\partial z}{\partial x} - x\frac{\partial z}{\partial y}=0$

은 반드시 성립하는지 판단하세요. 답의 근거를 반드시 제시하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$z=z(x,y)=F\big(x^2+y^2\big)$ 일 때 좌변의 두 항을 각각 계산하면 된다. 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} y\frac{\partial z}{\partial x}&= y\frac{\partial }{\partial x}F\big(x^2+y^2\big) =yF'\big(x^2+y^2\big) \frac{\partial }{\partial x}\,\big(x^2+y^2\big) =yF'\big(x^2+y^2\big)\left(2x\right) \\ &=2xy\,F'\big(x^2+y^2\big) \\ x\frac{\partial z}{\partial y}&= x\frac{\partial }{\partial y}F\big(x^2+y^2\big) =xF'\big(x^2+y^2\big) \frac{\partial }{\partial y}\,\big(x^2+y^2\big) =xF'\big(x^2+y^2\big)\left(2y\right) \\ &=2xyF'\big(x^2+y^2\big) \end{aligned}$

이다. 따라서

$y\frac{\partial z}{\partial x} - x\frac{\partial z}{\partial y} =2xy\,F'\big(x^2+y^2\big) - 2xy\,F'\big(x^2+y^2\big) =0$

이고, 미분가능한 모든 함수 $F$ 에 대해 $z(x,y)=F\big(x^2+y^2\big)$ 은 편미분방정식 $y\frac{\partial z}{\partial x} - x\frac{\partial z}{\partial y}=0$ 의 해이다.

이 문제로 이어서 풀기

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