극좌표 이중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.2절 · 1번

CLP-3 · 3.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

각 $1\le i\le 5$ 에 대해,

$xy$ 평면에 점 $(x_i,y_i)$ 를 그리고
점 $(x_i,y_i)$ 의 극좌표 $r_i$ 와 $\theta_i$ 를 구하세요. 단, $r_i>0$ 이고 $0\le\theta_i<2\pi$ 이다.

영어 원문 보기

Consider the points

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

For each $1\le i\le 5$ ,

sketch, in the $xy$ -plane, the point $(x_i,y_i)$ and
find polar coordinates $r_i$ and $\theta_i$ , with $r_i>0$ and $0\le\theta_i<2\pi$ , for the point $(x_i,y_i)$ .

정답·풀이 보기

아래 왼쪽 그림에는 좌표축 위에 있는 점 $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ 가 있다. 아래 오른쪽 그림에는 좌표축 위에 있지 않은 점 $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ 가 있다.

극좌표 $r$ , $\theta$ 와 직교좌표 $x$ , $y$ 사이에는 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 인 관계가 있다. 따라서 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x}$ ( $x\ne 0$ 이고 $r>0$ 이라 가정)이며

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ $(x_1,y_1)$ 은 양의 $x$축 위에 있으므로} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ $(x_2,y_2)$ 는 제1팔분면에 있으므로} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ $(x_3,y_3)$ 은 양의 $y$축 위에 있으므로} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ $(x_4,y_4)$ 는 제3팔분면에 있으므로} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ $(x_5,y_5)$ 는 음의 $x$축 위에 있으므로} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The left hand sketch below contains the points, $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ , that are on the axes. The right hand sketch below contains the points, $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ , that are not on the axes.

Recall that the polar coordinates $r$ , $\theta$ are related to the cartesian coordinates $x$ , $y$ , by $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ . So $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x}$ (assuming that $x\ne 0$ and $r>0$ ) and

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ as $(x_1,y_1)$ is on the positive $x$-axis} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ as $(x_2,y_2)$ is in the first octant} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ as $(x_3,y_3)$ is on the positive $y$-axis} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ as $(x_4,y_4)$ is in the third octant} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ as $(x_5,y_5)$ is on the negative $x$-axis} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 16번우리말 번역

이 문제는 다음 적분에 관한 것이다.

$\int_0^1 \int_{\sqrt{3}y}^{\sqrt{4-y^2}} \ln\big(1+x^2+y^2)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

(a) 적분 영역을 그림으로 그리세요. (b) 극좌표로 변환하여 적분의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 적분 영역에서

$y$ 는 $0$ 부터 $1$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $0\le y\le 1$ 이다.
이 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $x$ 는 $\sqrt{3}\,y$ 부터 $\sqrt{4-y^2}$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $\sqrt{3}\,y\le x\le \sqrt{4-y^2}$ 이다. 부등식 $x\le \sqrt{4-y^2}$ , $x\ge 0$ 은 $x^2+y^2\le 4$ , $x\ge 0$ 과 같음에 주의한다.

직선 $x=\sqrt{3}\, y$ 와 원 $x^2+y^2\le 4$ 는 $3y^2+y^2=4$ 일 때, 즉 $y=\pm 1$ 일 때 만난다. 그림은 다음과 같다.

(b) 극좌표에서 원 $x^2+y^2= 4$ 는 $r=2$ 이고 직선 $x=\sqrt{3}\, y$ , 즉 $\frac{y}{x} =\frac{1}{\sqrt{3}}$ 은 $\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$ , 곧 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 이다. $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이므로 적분 영역은

$\begin{aligned} \big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta)\ \big|\ 0\le \theta\le{\pi}/{6},\ 0\le r\le 2\ \big\} \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \int_0^1 \int_{\sqrt{3}y}^{\sqrt{4-y^2}} \ln\big(1+x^2+y^2)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &= \int_0^2\mathrm{d}r\int_0^{\pi/6}\mathrm{d}\theta\ r\,\ln(1+r^2) = \frac{\pi}{6}\int_0^2\mathrm{d}r\ r\,\ln(1+r^2) \\ &=\frac{\pi}{12}\int_1^5 \mathrm{d}u \ln(u) \qquad\text{여기서 }u=1+r^2,\ \mathrm{d}u=2r\,\mathrm{d}r \\ &=\frac{\pi}{12}\Big[u\ln(u)-u\Big]_1^5 \\ &=\frac{\pi}{12}\big[5\ln(5)-4\big] \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류